Question

sin³ 6x+cos³ 6x = 0. Допоможіть будь-ласка треба розв‘язати рівняння. Даю 20 балів

Answer 1

Решение.

$\bf sin^36x+cos^36x=0$    

Раскладываем сумму кубов по формуле , получим:

$\bf (sin6x+cos6x)(sin^26x-sin6x\cdot cos6x+cos^26x)=0\\\\1)\ \ sin6x+cos6x=0\ \Big|:cos6x\ne 0\ ,\\\\tg6x+1=0\ \ ,\ \ tg6x=-1\ \ ,\ \ 6x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ \ ,\ \ x=-\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{6}\ ,\ n\in Z\\\\\\2)\ \ \underbrace{\bf sin^26x+cos^26x}_{1}-\underbrace{\bf sin6x\cdot cos6x}_{0,5\, sin12x}=0$

Применим формулу тригонометрической единицы и формулой синуса двойного угла .

$\bf \dfrac{1}{2}\cdot sin12x=1\ \ ,\ \ sin12x=2 > 1\ \ (-1\leq sin12x\leq 1)\ \ \Rightarrow \ \ x\in \varnothing$  

Ответ:  $\boldsymbol{x=-\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{6}\ ,\ n\in Z}\ .$