Question

решите, пожалуйста, подробно)​

Answer 1

Ответ:

б) $\infty;$  в) $\dfrac{8\sigma}{5}=\dfrac{2a^2\sqrt{3}}{5}.$

Объяснение:

Введем обозначения. Индекс всегда будет указывать на то, что получается после соответствующего преобразования. Нулевой индекс указывает на то, что было до первого преобразования.

$a_n -$ это длина стороны пририсованного треугольника на n-ом этапе. В частности, $a_0 =a -$ длина стороны исходного треугольника.

$k_n -$  количество сторон многоугольника. В частноcти, $k_0=3.$

$P_n -$ периметр многоугольника. Ясно, что $P_n=k_n\cdot a_n.$

$S_n -$ площадь многоугольника. В частности, $S_0=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

$\sigma_n -$ площадь одного из треугольников, добавленных на n-ом этапе. Ясно, что таких треугольников $k_{n-1}$ штук, и что $S_{n}=S_{n-1}+k_{n-1}\cdot\sigma_n.$ Будем считать, что $S_0=\sigma_0.$

Поскольку каждый раз сторона треугольника делится на три части, и на средней части строится новый треугольник, $a_n=\frac{a_{n-1}}{3}=\frac{a_{n-2}}{3^2}=\ldots=\frac{a_0}{3^n}=\frac{a}{3^n}.$ Итак, сторона треугольника на каждом этапе уменьшается в 3 раза, поэтому площадь такого треугольника уменьшается в 9 раз, то есть $\sigma_n=\frac{\sigma_{n-1}}{9}=\frac{\sigma_{n-2}}{9^2}=\ldots=\frac{\sigma_0}{9^n}.$

По этой же причине при каждом преобразовании каждая сторона превращается в 4 стороны, поэтому $k_n=4k_{n-1}=4^2k_{n-2}=\ldots =4^nk_0=4^n\cdot 3.$

Отсюда $P_n=k_n\cdot a_n=\left(\frac{4}{3}\right)^n\cdot 3a.$ Поскольку $\frac{4}{3} > 1,$ $\lim\limits_{n\to \infty}P_n=\infty.$

Остается найти $S_n.$

$S_n=S_{n-1}+k_{n-1}\cdot \sigma_n=S_{n-1}+3\cdot 4^{n-1}\cdot \frac{\sigma_0}{9^n}= S_{n-1}+\frac{3\sigma_0}{4}\cdot \left(\frac{4}{9}\right)^n.$

Поэтому фактически  $S_n$ есть сумма членов геометрической прогрессии (только первое слагаемое, равное $\sigma_0,$ выпадает из этой общей картины, поэтому мы его разбиваем так: $\sigma_0=\frac{\sigma_0}{4}+\frac{3\sigma_0}{4}).$

Вспоминая сумму конечной и бесконечной убывающей геометрической прогрессии, мы находим $S_n$  и $\lim S_n:$

$S_n=\frac{\sigma_0}{4}+\frac{3\sigma_0}{4}\cdot\dfrac{1-\left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}}{1-\frac{4}{9 }}=\dfrac{\sigma_0}{4}\left(1+\dfrac{27}{5}}\cdot\dfrac{9^{n+1}-4^{n+1}}{9^{n+1}}\right).$ При желании эту формулу можно ещё поупрощать, а вместо $\sigma_0$  подставить площадь исходного треугольника, но мне лень это делать. Предел легче искать исходя из первоначальной формы:

$\lim\limits_{n\to\infty}S_n= \dfrac{\sigma_0}{4}+\dfrac{3\sigma_0}{4}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{4}{9}}=\dfrac{\sigma_0}{4}\left(1+\frac{27}{5}\right)=\dfrac{8\sigma_0}{5}.$

Переписывать в ответ значения периметра и площади n-й фигуры лень, запишу туда только пределы.