Question

Помогите пожалуйста, с подробным пояснением.

sin2x+2cos2x=1​

Answer 1

Ответ:

x₁ = π/4 + πn , n∈Z

x₂ = -arctg1/3 + πk , k∈Z

Объяснение:

$sin2x + 2cos2x = 1 \\ 2sinx \cdot cosx + 2(1 - 2sin {}^{2} x) = 1 \\ 2sinx \cdot cosx + 2 - 4sin {}^{2} x = 1 \\ 2sinx \cdot cosx - 4sin {}^{2} x = 1-2 \\ 2sinx \cdot cosx - 4sin {}^{2} x = -1 \\ 2sinx \cdot cosx - 4sin {}^{2} x + 1 = 0 \\ 2sinx \cdot cosx - 4sin {}^{2} x + sin {}^{2} x + cos {}^{2} x = 0 \\ 2sinx \cdot cosx - 3sin {}^{2} x + cos {}^{2} x = 0|:cos^2x\neq0 \\ \frac{2sinx \cdot cosx}{ cos {}^{2} x} - \frac{3sin {}^{2}x }{ cos {}^{2} x} + \frac{cos {}^{2} x}{cos {}^{2}x } = 0 \\ 2tgx - 3tg {}^{2} x + 1 = 0 \\ 3tg {}^{2} x - 2tgx - 1 = 0$

Введём замену tgx = t и получим квадратное уравнение:

$3t {}^{2} -2t - 1 = 0$

Решим данное уравнение через дискриминант:

$\displaystyle D = ( - 2) {}^{2} - 4 \cdot3 \cdot( - 1) = 4 + 12 = 16 \\ t_{1,2} = \frac{ - ( - 2) \pm \sqrt{16} }{2 \cdot3} = \frac{2 \pm4 }{6} \\\Rightarrow t_1 = 1 \: \: \: \: \: \: t_2 = - \frac{1}{3}$

Вернёмся к старой замене и получим , что:

$\displaystyle \left [ \begin{array}{ccc} tgx=1 \\\\ tgx=-\frac{1}{3} \end{array}\right\left [ \begin{array}{ccc} x=\frac{\pi}{4}+\pi n\\\\ x=-arctg\frac{1}{3} +\pi k \end{array}\right n,k\in Z$