Question

Знайти границю
Фото закріп

Answer 1

Ответ:

1) 4

2) -3

3) 12,5

Объснение:

$\displaystyle1)\lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{4x {}^{3} - 2x + 3 }{x {}^{3} - 2x + 3} \right) = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{4 \cdot \infty {}^{3} - 2 \cdot \infty + 3 }{ \infty {}^{3} - 2 \cdot \infty + 3} \right) = \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg]$

Чтобы расскрыть данную неопределенность , нужно разделить каждый одночлен из многочлена числителя и знаменателя на "x" с наибольшей степенью:

$\displaystyle\lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{ \frac{4x {}^{3} }{x {}^{3} } - \frac{2x}{x {}^{3} } + \frac{3}{x {}^{3} } }{ \frac{x {}^{3} }{x {}^{3} } - \frac{2x }{x {}^{3} } + \frac{3}{x {}^{3} } } \right) = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{4 - \frac{2}{x {}^{2} } + \frac{3}{x {}^{3} } }{1 - \frac{2}{x {}^{2} } + \frac{3}{x {}^{3} } } \right) = \frac{4 - \frac{2}{ \infty {}^{2} } + \frac{3}{ \infty {}^{3} } }{1 - \frac{2}{ \infty {}^{2} } + \frac{3}{ \infty {}^{3} } } = \frac{4 - 0 + 0}{1 - 0 + 0} = 4$

$\displaystyle2) \lim_{ x \rightarrow - 1 } \left( \frac{x {}^{3} + 1}{x {}^{2} + x} \right) = \lim_{ x \rightarrow - 1 } \left( \frac{ ( - 1) {}^{3} + ( - 1) }{( - 1) {}^{2} +( - 1)} \right) = \bigg[\frac{0}{0} \bigg]$

Расскроем неопределенность , выполняя преобразования :

$\displaystyle\lim_{ x \rightarrow - 1 } \left( \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x(x+1)} \right)= \lim_{ x \rightarrow -1 } \left(\frac{x^2-x+1}{x} \right) =\frac{(-1)^2-(-1)+1}{-1}= -3$

$\displaystyle 3) \lim_{ x \rightarrow 0} \left( \frac{1-cos 5x}{sin^22x} \right) = \lim_{ x \rightarrow 0 } \left(\frac{1-cos0}{sin^20} \right) = \bigg[\frac{0}{0} \bigg]$

Расскроем неопределенность, используя правило Лопиталя(производная числителя и знаменателя):

$\displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \left(\frac{(1-cos5x)'}{(sin^22x)'} \right) = \lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{5sin5x}{sin2x} \right) =\bigg[\frac{0}{0}\bigg]$

Повторяем действия , до тех пор , пока не избавимся от неопределенности:

$\displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{(5sin5x)'}{(sin2x)'} \right) = \lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{25cos5x}{2cos2x} \right) =\frac{25\cdot cos(5\cdot0)}{2cos(2\cdot 0)} =\frac{25}{2} =12,5$