Question

помогите с алгеброй, надо сдать сегодня. ​

Answer 1

Ответ:

1. x ∈ (-∞; -4)

2. x ∈ [0; +∞)

3. х ∈ [-2; 0,4]

4. x ∈ [-4; 1]

5. x ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞)

Объяснение:

Решить неравенства:

$\displaystyle 1.\;5^{-x} > 625$

$\displaystyle 2.\;\left(\frac{4}{3\right)^{2x-1}} \geq \frac{3}{4}$

$\displaystyle 3.\;\left(\frac{1}{3}\right)^{5x^2+8x-4} \geq 1$

$\displaystyle 4.\;\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2+x-2} \geq 4^{x-1}$

$\displaystyle 5.\;5^{2x} -6\cdot 5^x+5 > 0$

$\displaystyle 1.\;5^{-x} > 625$

Представим 625 в виде степени с основанием 5.

$\displaystyle 5^{-x} > 5^4$

5 > 1 ⇒ -x > 4

• При умножении двух частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства переворачивается.

$\displaystyle -x > 4\;\;\;|\cdot{(-1)}\\\\x < -4$

x ∈ (-∞; -4)

$\displaystyle 2.\;\left(\frac{4}{3\right)^{2x-1}} \geq \frac{3}{4}$

• Число в степени (-1) - это число, обратное данному.

$\displaystyle \left(\frac{4}{3\right)^{2x-1}} \geq\left( \frac{4}{3}\right)^{-1}\\\\\frac{4}{3} > 1\;\Rightarrow \;2x-1\geq -1\\ \\2x\geq 0\;\;\;|:2\\\\x\geq 0$

x ∈ [0; +∞)

$\displaystyle 3.\;\left(\frac{1}{3}\right)^{5x^2+8x-4} \geq 1$

Любое число, кроме 0, в нулевой степени равно 1.

$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{5x^2+8x-4} \geq \left(\frac{1}{3}\right)^0 \\\\0 < \frac{1}{3} < 1\;\Rightarrow \;5x^2+8x-4\leq 0$

Решим квадратное уравнение.

$\displaystyle D=64+80=144\;\Rightarrow \;\sqrt{D}=12\\ \\x_1=\frac{-8+12}{10}=0,4;\;\;\;\;\;x_2=\frac{-8-12}{10}=-2$

$+++[-2]---[0,4]+++$

Так как у нас знак ≤, то наш интервал со знаком "-".

х ∈ [-2; 0,4]

$\displaystyle 4.\;\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2+x-2} \geq 4^{x-1}$

Представим степень в правой части в виде степени с основанием 1/2.

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2+x-2} \geq (2^2)^{x-1}\\\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2+x-2} \geq \left(\left(\frac{1}{2} \right)^{-2}\right)^{x-1}\\\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2+x-2} \geq \left(\frac{1}{2} \right)^{-2x+2}\\\\0 < \frac{1}{2} < 1\;\Rightarrow \;x^2+x-2\leq -2x+2\\ \\x^2+3x-4\leq 0$

По теореме Виета:

$x_1=-4;\;\;\;\;\;x_2=1$

$+++[-4]---[1]+++$

x ∈ [-4; 1]

$\displaystyle 5.\;5^{2x} -6\cdot 5^x+5 > 0$

Заменим переменную.

$\displaystyle 5^x=t,\;\;\;t > 0\\\\t^2-6t+5 > 0\\\\t_1=1;\;\;\;\;\;t_2=5$

$+++[1]---[5]+++$

t < 1;     t > 5

Cделаем обратную замену.

$\displaystyle 5^x < 1\\\\5^x < 5^0\;\Rightarrow x < 0\\\\5^x > 5^1\;\Rightarrow \;x > 1$

x ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞)