Можно ли найти четыре различных натуральных числа, каждое из которых не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, но сумма любых трёх делится на 3, а сумма всех четырех делится на 4?
Ответы
Ответ:
Можно, например: 1, 7, 13, 19
Пошаговое объяснение:
По условию нужно найти четыре различных натуральных числа, каждое из которых не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, но сумма любых трёх делится на 3, а сумма всех четырех делится на 4.
Будем искать эти числа в виде x=a+1, y=b+1, z=c+1, t=d+1, где a, b, c, d – различные числа.
1) Так как числа не должны делится на 2, то a, b, c, d – чётные числа.
2) Если числа a, b, c, d делятся на 2 и 3, то сумма любых трёх из чисел x, y, z, t делится на 3, а сумма всех четырех делится на 4.
В самом деле, пусть a=6·k, b=6·m, c=6·n, d=6·h, где k, m, n, h различные числа. Так как в сумме любых трёх чисел 6 делится на 3 и сумму остатков также делится на 3, то сумма любых трёх чисел
x=6·k+1, y=6·m+1, z=6·n+1, t=6·h+1
делится на 3.
Далее, рассмотрим сумму всех четырех чисел:
x+y+z+t = 6·k+1+6·m+1+6·n+1+6·h+1 = 6·(k+m+n+h)+4.
Если выбрать числа k, m, n и h, то k+m+n+h - чётное число и каждое из слагаемых 2·3·(k+m+n+h) и 4 делится на 4.
Теперь, основываясь вышесказанных, числа можно представить в виде:
x=6·k+1, y=6·(k+1)+1, z=6·(k+2)+1, t=6·(k+3)+1 или же
x=6·k+1, y=6·k+7, z=6·k+13, t=6·k+19.
При к = 0 получим: 1, 7, 13, 19.
#SPJ1