Ответы
Ответ:
Даны плоскость p и произвольная точка и точка М0(х0;у0;z0), не лежащая на ней. Выберем для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке М1(х1;у1;z1)Îp, пусть d=ρ(M0,L) – расстояние от точки М0 до плоскости p. Тогда (рисунок)
ρ(M0,L)= = (13) , т.к. =1.
Если плоскость p задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением: Ах+Ву+Сz+D=0, то ее нормальный вектор имеет координаты {А;В;C}. В качестве единичного нормального вектора можно выбрать n= .
Т.к. М1(х1;у1;z1)Îp, то выполняется равенство Ax1+Ву1+Сz1+D=0.
={x0-x1;y0-y1;z0-z1}. Записывая скалярное произведение n в координатной форме, получаем:
ρ(M0,L)= = = =
=
d=ρ(M0,Π)= (14)
Пример. Найти длину высоты треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин.
Найти расстояние между параллельными плоскостями.
Определение. Отклонением d точкиМ0(х0;у0;z0) от плоскости p называется число + d в случае, когда точка М0 и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости p, и число –d, когда точки М0 и О лежат по одну сторону от плоскости p.
Если начало координат О лежит на плоскости p, то полагают отклонение равным +d в том случае, когда точка М0 по ту сторону от p, куда направлен нормальный вектор n, и равным -d в противном случае.
Теорема. (с. 142) Пусть плоскость p задана нормированным уравнением
х cos a+у cos b+ z cos g-р=0 (13). Тогда отклонение точки М0(х0;у0;z0) от плоскости p, равно:
d=х cos a+у cos b+ z cos g-р (14)
Формула (14) позволяет найти и расстояние от точки до плоскости.
Пример. Найти длину высоты пирамиды.