Question

Найти sin, cos, tg, если ctg@=-0.5; π/2<@<π

Answer 1

Дано : $\sf{ctg\alpha} = -0,5$, $\sf {\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi}$.
Найти :  $\sf {sin\alpha,~cos\alpha,~tg\alpha ~-~?}$
Решение :
Если $\sf {\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi}$, то $\sf cos\alpha < 0, sin\alpha > 0, tg\alpha < 0$ (угол α находится во 2 четверти).
$\boxed{\sf ctg\alpha*tg\alpha = 1} \to \sf{tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha} = \frac{1}{-0,5} = -2.$
$\boxed{\sf 1+tg^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha}} \to 1+4= \frac{1}{cos^{2}\alpha } \to \sf 5cos^{2}\alpha = 1 \to \sf cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}.$
Основное тригонометрическое тождество - $\boxed{\sf cos^{2} \aipha + sin^{2}\alpha = 1}$.

Отсюда $\boxed{\sf sin\alpha = \pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha } }$.

$\sf sin\alpha = \sqrt{1-(-\sqrt{\frac{1}{5})}^{2} } = \sqrt{1-\frac{1}{5} } = \sqrt{\frac{4}{5} } = \frac{2}{\sqrt{5}}.$

Ответ : $\sf sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5} },~cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}, ~ tg\alpha = -2.$