Question

ПППОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ, ОЧЕНЬ СРОЧНО. 50 БАЛЛОВ ДАМ

Доведіть, що значення виразу 21¹⁵ + 15³ ділиться націло на 47 ​

Answer 1

Ответ:Щоб довести, що ціле число ділиться на 47, достатньо перевірити, чи дає ціле число при діленні на 47 остачу 0.

Вираз 21¹⁵ + 15³ можна записати у вигляді 21¹⁵ + 5³ * 3³. Ми можемо ще більше спростити цей вираз наступним чином:

21¹⁵ + 5³ * 3³

= (3 * 7)¹⁵ + (5 * 3)³ * 3³

= 3¹⁵ * 7¹⁵ + 5³ * 3³ * 3³

= 3¹⁵ * (7¹⁵ + 5³ * 3²)

= 3¹⁵ * (7¹⁵ + 5³ * 9)

= 3¹⁵ * (7¹⁵ + 45 * 5)

= 3¹⁵ * (7¹⁵ + 225)

Тепер можна скористатися властивістю, що (a + b) ділиться на просте число p тоді і тільки тоді, коли і a, і b діляться на p. Ми знаємо, що і 225, і 7¹⁵ діляться на 47, тому весь вираз 3¹⁵ * (7¹⁵ + 225) також ділиться на 47.

Отже, значення виразу 21¹⁵ + 15³ ділиться на 47.