Question

Помогите решить интеграл

Answer 1

Ответ:

Двойной интеграл вычислить .

Область   $\bf D:\ \{y=x^2\ ,\ y=1\ \}$  .

Точки пересечения:   $\bf x^2=1\ \ \Rightarrow \ \ \ x=\pm 1$   .

$\bf\displaystyle \iint \limits _{D}(x-y^2)\, dx\, dy=\int\limits^1_{-1}\, dx\int\limits_{x^2}^1 \, (x-y^2)\, dy=\int\limits^1_{-1}\, dx\Big(\int\limits_{x^2}^1 \, x\, dy-\int\limits_{x^2}^1 \, y^2\, dy\Big)=\\\\\\=\int\limits^1_{-1}\, dx\Big(\ xy\, \Big|_{x^2}^1-\frac{y^3}{3}\, \Big|_{x^2}^1\Big)=\int\limits^1_{-1}\, dx\Big(x\cdot (1-x^2)-\frac{1}{3}\cdot (1-x^6)\Big)=$

$\displaystyle \bf =\int\limits^1_{-1}\,\Big(x-x^3-\frac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\, x^6\Big)\, dx=\Big(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}-\frac{1}{3}\, x +\frac{x^7}{3\cdot 7}\Big)\Big|_{-1}^1=\\\\\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{21}-\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{21}\Big)=-\frac{2}{3}+\frac{2}{21}=-\frac{12}{21}=-\frac{4}{7}$