Question

Вычислить предел lim n→∞ ((−2)^n−24⋅4^n+4^(−n))/(1+4+...+4^n).

Answer 1

Рассмотрим сумму знаменателя дроби $1+4+...+4^n=4^0+4^1+...+4^n$. Это сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом $1$ и знаменателем $q=4$.

$S_n=\dfrac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\dfrac{1\cdot (1-4^n)}{1-4}=\dfrac{4^n-1}{3}$

Вычисляем предел функции

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{(-2)^n-24\cdot 4^n+4^{-n}}{1+4+...+4^n}=3\lim_{n \to \infty}\dfrac{(-2)^n-24\cdot 4^n+4^{-n}}{4^n-1}=$

$\displaystyle =3\lim_{n \to \infty}\dfrac{(-1)^n\cdot 2^{-n}-24+4^{-2n}}{1-4^{-n}}=3\cdot \dfrac{0-24+0}{1-0}=3\cdot (-24)=-72$