Question

решите только 7 задачу

Answer 1

$y(x)=\sin\dfrac{x}{2} ;\ y(x)=\cos x$

Приравняем правые части соотношений:

$\sin\dfrac{x}{2} =\cos x$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$\sin\dfrac{x}{2} =1-2\sin^2\dfrac{x}{2}$

$2\sin^2\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2} -1=0$

Получили квадратное уравнение относительно синуса.

Поскольку сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту, то первый корень равен (-1), а второй корень равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

$\sin\dfrac{x}{2}=-1 \Rightarrow \dfrac{x}{2}=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow \boxed{x_1=-\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

$\sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n \\ \dfrac{x}{2}=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \boxed{x_2=\dfrac{\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}} \\ \boxed{x_3=\dfrac{5\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}} \end{array}\right.$

Выполним отбор корней. Нас интересуют значения $x\in[0;\ 2020\pi ]$.

Для первой серии корней получим:

$0\leqslant -\pi+4\pi n\leqslant 2020\pi$

$0\leqslant -1+4 n\leqslant 2020$

$0\leqslant -\dfrac{1}{4} + n\leqslant 505$

$\dfrac{1}{4}\leqslant n\leqslant 505\dfrac{1}{4}$

505 целых чисел удовлетворяют полученному двойному неравенству (от 1 до 505 включительно). Таким образом, эта серия корней дает 505 точек пересечения.

Для второй серии корней получим:

$0\leqslant \dfrac{\pi }{3} +4\pi n\leqslant 2020\pi$

$0\leqslant \dfrac{1 }{3} +4 n\leqslant 2020$

$0\leqslant \dfrac{1 }{12} + n\leqslant 505$

$-\dfrac{1 }{12} \leqslant n\leqslant 504\dfrac{11 }{12}$

505 целых чисел удовлетворяют полученному двойному неравенству (от 0 до 504 включительно). Таким образом, эта серия корней также дает 505 точек пересечения.

Для третьей серии корней получим:

$0\leqslant \dfrac{5\pi }{3} +4\pi n\leqslant 2020\pi$

$0\leqslant \dfrac{5 }{3} +4 n\leqslant 2020$

$0\leqslant \dfrac{5 }{12} + n\leqslant 505$

$-\dfrac{5 }{12}\leqslant n\leqslant 504\dfrac{7 }{12}$

505 целых чисел удовлетворяют полученному двойному неравенству (от 0 до 504 включительно). Таким образом, эта серия корней вновь дает 505 точек пересечения.

Всего точек пересечения:

$505+505+505=1515$

Ответ: 1515 точек пересечения