Question

ПОМОГИТЕ! ТЕСТ!
Непрерывная случайна величина X задана функцией распределения
(Фото)
Найдите значение функции плотности распределения этой случайной величины в точке 2,5 .

1) 1
2) 0
3) 59
4) 2536

Answer 1

Ответ:   5/9  .

Функция плотности - это производная от функции распределения :

 $\bf f(x)=F'(x)$  

$\bf F(x)=\left\{\begin{array}{l}\bf 0\ \ ,\ \ \ x < 0\ ,\\\bf \dfrac{x^2}{9}\ ,\ 0\leq x\leq 3\ ,\\\bf 1\ \ ,\ \ x > 3\ .\end{array}\right\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ f(x)=\left\{\begin{array}{l}\bf 0\ \ ,\ \ x < 0\ ,\\\bf \dfrac{2x}{9}\ ,\ \ 0\leq x\leq 3\ ,\\\bf 0\ \ ,\ \ x > 3\ .\end{array}\right$    

Проверим, что функция  f(x)  действительно является функцией

плотности. Для этого проверим равенство:

  $\bf \displaytsyle \int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, f(x)\, dx=1$   .  

$\bf \displaystyle \int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, f(x)\, dx=\int\limits_{-\infty }^0\, 0\cdot dx+\int\limits_0^3\, \frac{2x}{9}\, dx+\int\limits_3^{+\infty }\, 0\cdot dx=\frac{2}{9}\cdot \frac{x^2}{2}\, \Big|_0^3=\\\\\\=\frac{1}{9}\cdot (3^2-0^2)=\frac{1}{9}\cdot 9=1$  

Итак, функция  f(x) действительно является функцией плотности .

Теперь найдём значение  f(x)  при  х=2,5 .  

$\bf f(2,5)=\dfrac{2\cdot 2,5}{9}=\dfrac{5}{9}$