Question

Равносильны ли уравнения х^2=5х-6 и х^2-5х+6=0; х+5=х-1 и х(х-3)=х^2+8-3х; (х+2)(х^2+1)=3(х^2+1)и х+2=3; (х+3)(х-3)=0 и х+3=0

Answer 1

Уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. В частности, два уравнения равносильны, если одно получено из другого в результате равносильных преобразований.

Первая пара уравнений:

$x^2=5x-6$ и $x^2-5x+6=0$

Любое слагаемое мы можем перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак этого слагаемого.

Заметим, что если в первом уравнении все слагаемые из правой части перенести в левую, изменив при этом их знаки, то мы получим в точности второе уравнение:

$x^2-5x+6=0$

Поэтому, эти уравнения равносильны.

Вторая пара уравнений:

$x+5=x-1$ и $x(x-3)=x^2+8-3x$

Рассмотрим первое уравнение. Оно сводится к неверному равенству:

$5=-1$

Значит, первое уравнение не имеет решений.

Рассмотрим второе уравнение. После раскрытия скобок получим:

$x^2-3x=x^2+8-3x$

После чего вновь следует неверное равенство:

$0=8$

Значит, второе уравнение также не имеет решений.

Оба уравнения не имеют решений. Следовательно, они равносильны.

Третья пара уравнений:

$(x+2)(x^2+1)=3(x^2+1)$ и $x+2=3$

Рассмотрим первое уравнение. В обеих частях этого уравнения записан множитель $(x^2+1)$. Заметим, что этот множитель может принимать только положительные значения. А обе части любого уравнения можно умножить или разделить на любое число, отличное от нуля. Поэтому, обе части первого уравнения разделим на  $(x^2+1)$:

$x+2=3$

Получим в точности второе уравнение.

Значит, заданные уравнения равносильны.

Четвертая пара уравнений:

$(x+3)(x-3)=0$ и $x+3=0$

Рассмотрим первое уравнение. Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей:

$(x+3)(x-3)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x+3=0 \\ x-3=0 \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x_1=-3 \\ x_2=3 \end{array}\right.$

Таким образом, первое уравнение имеет два корня: -3 и 3.

Рассмотрим второе уравнение:

$x+3=0$

$x=-3$

Второе уравнение имеет один корень: -3.

Множества решений этих двух уравнений не совпадают. Значит, эти уравнения не равносильны.