Равносильны ли уравнения х^2=5х-6 и х^2-5х+6=0; х+5=х-1 и х(х-3)=х^2+8-3х; (х+2)(х^2+1)=3(х^2+1)и х+2=3; (х+3)(х-3)=0 и х+3=0
Ответы
Уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. В частности, два уравнения равносильны, если одно получено из другого в результате равносильных преобразований.
Первая пара уравнений:
и
Любое слагаемое мы можем перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак этого слагаемого.
Заметим, что если в первом уравнении все слагаемые из правой части перенести в левую, изменив при этом их знаки, то мы получим в точности второе уравнение:
Поэтому, эти уравнения равносильны.
Вторая пара уравнений:
и
Рассмотрим первое уравнение. Оно сводится к неверному равенству:
Значит, первое уравнение не имеет решений.
Рассмотрим второе уравнение. После раскрытия скобок получим:
После чего вновь следует неверное равенство:
Значит, второе уравнение также не имеет решений.
Оба уравнения не имеют решений. Следовательно, они равносильны.
Третья пара уравнений:
и
Рассмотрим первое уравнение. В обеих частях этого уравнения записан множитель . Заметим, что этот множитель может принимать только положительные значения. А обе части любого уравнения можно умножить или разделить на любое число, отличное от нуля. Поэтому, обе части первого уравнения разделим на
:
Получим в точности второе уравнение.
Значит, заданные уравнения равносильны.
Четвертая пара уравнений:
и
Рассмотрим первое уравнение. Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей:
Таким образом, первое уравнение имеет два корня: -3 и 3.
Рассмотрим второе уравнение:
Второе уравнение имеет один корень: -3.
Множества решений этих двух уравнений не совпадают. Значит, эти уравнения не равносильны.