Question

Помогите пожалуйста! Найти производные функций:

Answer 1

Ответ:

а)

$\boldsymbol{\boxed{y'(4) = \dfrac{62341}{2048}}}$

б)

$\boldsymbol{\boxed{y' = \dfrac{3 \log_{4} x}{2\sqrt{3x-1}} + \dfrac{ \sqrt{3x-1} }{x \ln 4}}}$

в)

$\boldsymbol{\boxed{y' = \dfrac{6x\sqrt{1- 9x^{2} }\arcsin 3x - 3(3x^{2} -4) }{\sqrt{1- 9x^{2} }\arcsin^{2} 3x}}}$

Примечание:

Правила дифференцирования:

$(f + g)' = f' + g'$

$(kf)' = kf'$, где $k \in \mathbb R$

$(fg)' = f'g + fg'$

$\bigg (\dfrac{f}{g} \bigg )' = \dfrac{f'g - fg'}{g^{2}}$

$(f(g))' = g'f'(g)$

$f,g -$ функции зависящие от $x$

По таблице производных:

$\boxed{(\log_{a} x)' = \frac{1}{x \ln a} }$

Пошаговое объяснение:

а)

$y = 2\sqrt{x^{3} } - \dfrac{7}{x} + 3x^{2} - \dfrac{2}{x^{5}}$

$y' = \bigg (2\sqrt{x^{3} } - \dfrac{7}{x} + 3x^{2} - \dfrac{2}{x^{5}} \bigg)' = \bigg (2x^{1,5} } - \dfrac{7}{x} + 3x^{2} - 2x^{-5} \bigg)' =$

$= 1,5 \cdot2x^{1,5 - 1} } + \dfrac{7}{x^{2} } + 6x +10x^{-6} = 3\sqrt{x} + \dfrac{7}{x^{2} } + 6x + \dfrac{10}{x^{6}};x > 0$

$y'(4) = 3\sqrt{4} + \dfrac{7}{4^{2} } + 6\cdot 4 + \dfrac{10}{4^{6}} =3 \cdot 2+ \dfrac{7}{16} + 24 + \dfrac{10}{4096} = 6+24+\dfrac{7}{16}+\dfrac{5}{2048}=$

$=30+\dfrac{7}{16}+\dfrac{5}{2048}= \dfrac{61440+896+5}{2048} = \dfrac{62341}{2048} = 30,43994140625$

б)

$y = \sqrt{3x-1} \cdot \log_{4} x$

$y' =(\sqrt{3x-1} \cdot \log_{4} x )' = (\sqrt{3x-1} )' \cdot \log_{4} x + \sqrt{3x-1} \cdot (\log_{4} x )' =$

$= \dfrac{(3x-1)'}{2\sqrt{3x-1}} \cdot \log_{4} x + \dfrac{ \sqrt{3x-1} }{x \ln 4} = \dfrac{3 \log_{4} x}{2\sqrt{3x-1}} + \dfrac{ \sqrt{3x-1} }{x \ln 4}$

в)

$y = \dfrac{3x^{2} -4}{\arcsin 3x}$

$y' = \bigg ( \dfrac{3x^{2} -4}{\arcsin 3x} \bigg )' = \dfrac{(3x^{2} -4)'\arcsin 3x - (3x^{2} -4)(\arcsin 3x)'}{\arcsin^{2} 3x} =$

$= \dfrac{6x\arcsin 3x - \dfrac{(3x)'(3x^{2} -4)}{\sqrt{1- 9x^{2} } } }{\arcsin^{2} 3x} = \dfrac{6x\arcsin 3x - \dfrac{3(3x^{2} -4)}{\sqrt{1- 9x^{2} } } }{\arcsin^{2} 3x} =$

$= \dfrac{6x\sqrt{1- 9x^{2} }\arcsin 3x - 3(3x^{2} -4) }{\sqrt{1- 9x^{2} }\arcsin^{2} 3x}$