Question

Найдите количество различных троек (a, b, c) таких, что для целых положительных чисел a > b> с выполняется:​

Answer 1

Ответ:  Данное уравнение имеет 4  тройки положительно целых  решения   (5 ;  4 ; 3)  ,   (15 ; 4  ; 2) ,  (9 ; 5  ; 2) , (7 ; 6 ; 2)

Объяснение:

Найдите количество различных троек (a, b, c) таких, что для целых положительных чисел a > b> с выполняется:​

Постараемся свести кол-во неизвестных к двум (a,b)

$\displaystyle \bigg ( 1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg ( 1 + \frac{1}{b}\bigg ) \bigg ( 1 + \frac{1}{c}\bigg ) = 2$

Пусть  c  = 1

$\displaystyle \bigg ( 1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg ( 1 + \frac{1}{b}\bigg ) ( 1 + 1 ) = 2$

$\displaystyle \bigg ( 1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg ( 1 + \frac{1}{b}\bigg ) = 1$

Очевидно , что левая часть всегда будет больше правой ,  поскольку $a,b,c \in \mathbb N$   ,  поэтому в данном случае решений нет  

Попробуем найти ограничение , для значений  a,b,c

Если   a,b,c = 2

$\displaystyle \bigg ( 1+\frac{1}{2} \bigg )\bigg ( 1 + \frac{1}{2}\bigg ) \bigg ( 1 + \frac{1}{2}\bigg ) = \bigg (\frac{3}{2}\bigg )^3 = \frac{27}{8} > 2 ~~\checkmark$

Если   a,b,c  = 3

$\displaystyle \bigg ( 1+\frac{1}{3} \bigg )\bigg ( 1 + \frac{1}{3}\bigg ) \bigg ( 1 + \frac{1}{3}\bigg ) = \bigg (\frac{4}{3}\bigg )^3 = \frac{64}{27} > 2~ \checkmark$

А в случае   a,b,c ≥ 4  ,   правая часть всегда будет больше левой

$\displaystyle \bigg ( 1+\frac{1}{4} \bigg )\bigg ( 1 + \frac{1}{4}\bigg ) \bigg ( 1 + \frac{1}{4}\bigg ) = \bigg (\frac{5}{4}\bigg )^3 = \frac{125}{64} > 2$

Теперь  логично  , что  хотя бы одна из неизвестных (a,b,c) равна 2 или 3

I) Пусть   c = 3

Перед подстановкой заметим , что

$\displaystyle \bigg ( 1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg ( 1 + \frac{1}{b}\bigg ) \bigg ( 1 + \frac{1}{c}\bigg ) = 2 ~~~ \big |\cdot abc \\\\\\ (a+1)(b + 1)(c+1)= 2 ab c$

Подставляем   c = 3

$4(a+ 1)(b+1)= 6ab \\\\ 4(a+b + ab + 1)= 6ab \\\\ 4a + 4b + 4ab + 4 - 6ab = 0 \\\\ 4a + 4b - 2ab + 4 = 0 ~~\big |:2 \\\\ 2a + 2b - ab +2=0 \\\\ ab - 2a - 2b = 2 \\\\ ab - 2a - 2b+\pmb 4 = 2+\pmb 4 \\\\ a(b- 2)- 2(b-2) = 6\\\\ (b-2)(a-2)= 6$

Cмотрим на множители  6-ти

*6  = 3·2

$\left [ \begin{array}{l} a-2=3\\\\ b -2= 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} a=5\\\\ b =4 \end{array} \right.$

5 > 4 > 3   $\checkmark$  -  1 решение

*6  = 6·1

$\left [ \begin{array}{l} a-2=6\\\\ b -2= 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} a=8\\\\ b =3 \end{array} \right.$

Поскольку   b = c = 3 , данная тройка нам не подходит

А случаи , когда  b = 3 или    a = 3  в силу симметрии мы можем не  рассматривать ,  поскольку мы получим тоже самое решение  (3;4;5) , но с другой расстановкой  ( т.e  (4 ; 3 ; 5)  , (4 ; 5 ; 3) ... ),  а нам нужна только та  когда a > b > c

II)  Пусть  c =  2

$(a+1)(b + 1)(c+1)= 2 ab c \\\\ (a +1)(b+1) \cdot 3 = 4ab \\\\ 3ab + 3a + 3b + 3 - 4ab = 0 \\\\ 3a + 3b - ab + 3 = 0 \\\\ ab - 3a - 3b + \pmb 9 = 3 + \pmb 9 \\\\ a(b-3)- 3(b-3) = 12 \\\\ (b-3)(a-3) = 12$  

*12 = 12·1

$\left [ \begin{array}{l} a-3=12\\\\ b -3= 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} a=15\\\\ b =4 \end{array} \right.$

15 > 4  > 2  $\checkmark$  -  2 решение

*12 = 6·2

$\left [ \begin{array}{l} a-3=6\\\\ b -3= 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} a= 9 \\\\ b =5 \end{array} \right.$

9 > 5  > 2  $\checkmark$  -  3 решение

*12 = 4·3

$\left [ \begin{array}{l} a-3=4\\\\ b -3= 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} a= 7 \\\\ b =6 \end{array} \right.$

7 > 6  > 2   $\checkmark$  -  4 решение

Таким образом , данное уравнение имеет 4  тройки положительно целых  решения  

#SPJ1