Question

2. Знайдіть катети прямокутного трикутника, у якого:

а) гіпотенуза дорівнює 13 дм, а площа 30 дм²;

Answer 1

Ответ:

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 дм и 5 дм.

Объяснение:

2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 13 дм, а площадь 30 дм².

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

ВС = 13 дм - гипотенуза;

S = 30 дм².

Найти: АВ и АС.

Решение:

Пусть АС = х дм - меньший катет, АВ = у дм - бОльший катет.

• Площадь прямоугольника равна половине произведения катетов.

 $\displaystyle S(ABC)= \frac{1}{2}AB\cdot AC\\\\30 =\frac{1}{2}xy$

ху = 60

По теореме Пифагора:

ВС² = АВ² + АС²

х² + у² = 169

Решим систему:  

$\displaystyle \left \{ {{xy=60\;\;\;|\cdot 2} \atop {x^2+y^2=169}} \right.\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\left \{ {{2xy=120} \atop {x^2+y^2=169}} \right.$

Сложим уравнения:

$\displaystyle x^2+2xy+y^2=289\\\\(x+y)^2=289\\\\x+y=17$

(Отрицательные значения не подходят по условию задачи)    

Выразим х и подставим в первое уравнение:

$\displaystyle x=17-y\\\\(17-y)\cdot y=60\\\\17y-y^2-60=0\\\\y^2-17y+60=0\\\\\sqrt{D}=\sqrt{289-240}=\sqrt{49}=7\\ \\ y_1=\frac{17+7}{2}=12;\;\;\;\;\;y_2=\frac{17-7}{2}=5\\ \\ x_1=17-12=5;\;\;\;\;\;x_2=17-5=12$

Так как бОльший катет АВ,

⇒ АВ = 12 дм; АС = 5 дм.

#SPJ1