Question

Можете допомогти будь ласка з алгеброю?!?!​

Answer 1

Ответ:

$\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right);\ (1;1);\ \left(-\dfrac{5}{3};-\dfrac{1}{3}\right).$

Объяснение:

Разберёмся сначала с первым уравнением; оно кажется проще. Есть надежда, что левую часть удастся разложить на множители с целыми коэффициентами:

         $x^2-2y^2-xy+2x-y+1=(ax+by+c)(px+qy+r)=$

$=apx^2+bqy^2+(aq+bp)xy+(ar+cp)x+(br+cq)y+cr.$

Коэффициенты при квадратах подсказывают, что a=p=1 (рассматривать случай a=b=-1 нет смысла - он превращается в наш домножением обеих скобок на минус единицу),  а поскольку bq= - 2, надо попробовать взять b=1; q= - 2, или b=2; q = -1 (два других случая рассматривать не надо - при них скобки разложения поменяются местами). Чтобы выбрать правильный вариант, посмотрим на коэффициент при xy:

                                              aq+bp=-1;

первый вариант дает верное равенство (-2+1=-1), а второй нет  (-1+2≠1), поэтому останавливаемся на первом варианте.

Для c и r у нас есть две возможности:  c=r=-1 или c=r=1.

Рассмотрим первый случай:

              $(x+y-1)(x-2y-1)=x^2-2y^2-xy-2x+y+1,$

то есть он не подходит. Второй же случай дает верное разложение:

             $(x+y+1)(x-2y+1)=x^2-2y^2-xy+2x-y+1.$

Вывод:                         $\left [ {{x+y+1=0} \atop {x-2y+1=0}} \right.\Leftrightarrow \left [ {{x=-y-1} \atop {x=2y-1}} \right. .$

1-й случай: x=-y-1; подставляем во второе уравнение:

$2(-y-1)^2-y^2+(-y-1)y+3y-5=0;\ 2y^2+4y+2-y^2-y^2-y+3y-5=0;$

$6y-3=0;\ y=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{3}{2}.$

2-й случай: x=2y-1; подставляем во второе уравнение:

$2(2y-1)^2-y^2+(2y-1)y+3y-5=0;\ 8y^2-8y+2-y^2+2y^2-y+3y-5=0;$

$9y^2-6y-3=0;\ 3y^2-2y-1=0;\ (y-1)(3y+1)=0;\ \left [{{y=1\Rightarrow x=1} \atop {y=-1/3\Rightarrow x=-5/3}} \right. .$

Замечание. Квадратное уравнение в последней строчке можно было решить с помощью дискриминанта.