Question

1. Найдите периметр треугольника с площадью 7√2 см² и углом 45°, если стороны, прилежащие к данному углу, относятся как 4:7.​

Answer 1

Пусть a и b — катеты треугольника, α (Альфа) — угол между ними, S — площадь треугольника, а С — гипотенуза.

Тогда площадь треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a * b * sin(α)) / 2

Теорема косинусов гласит:

c² = a² + b² − 2ab cos(α)

Зная формулы для вычисления площади и гипотенузы треугольника, а также отношение длин двух сторон катетов, мы можем найти периметр треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что угол α = 45°, площадь S = 7√2 см², а отношение длин катетов a и b равно 4:7. Обозначим длины сторон через a и b, тогда:

S = (a * b * sin(α)) / 2

7√2 = (4x * 7x * sin(45°)) / 2

7√2 = 14x² * sin(45°)

7√2 = 14x² * √2 / 2

7 = 7x²

x² = 1

x = 1 или x = -1 (отрицательное значение не подходит)

Так как x — это отношение длин сторон, то мы можем сделать вывод, что a = 4 см, а b = 7 см.

Далее, найдем гипотенузу c:

c² = a² + b² − 2ab cos(α)

c² = 4² + 7² − 2 * 4 * 7 * cos(45°)

c² = 16 + 49 − 56 * √2 / 2

c² = 65 − 28 * √2

c ≈ 5,25 см

И, наконец, найдем периметр треугольника:

P = a + b + c

P = 4 + 7 + 5,25

P ≈ 16,25 см

Ответ: периметр треугольника равен примерно 16,25 см.