Question

Розв’язатисистему рівнянь:
а) за формулами Крамера;
б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);
в) методом Гаусса.

Answer 1

Ответ:

Система линейных уравнений

      $\left\{\begin{array}{l}\bf 3x_1-2x_2+4x_3=21\\\bf 3x_1+4x_1-2x_3=9\\\bf 2x_1-x_2-x_3=10\end{array}\right$  .

a)  Метод Крамера . Вычисляем определители .

$\bf \Delta =\left|\begin{array}{ccc}3&-2&4\\3&4&-2\\2&-1&-1\end{array}\right|=3\, (-4-2)+2\, (-3+4)+4\, (-3-8)=-60\ne 0\\\\\\\Delta _1=\left|\begin{array}{ccc}21&-2&4\\9&4&-2\\10&-1&-1\end{array}\right|=21\, (-4-2)+2\, (-9+20)+4\, (-9-40)=-300$

$\bf \Delta _2=\left|\begin{array}{ccc}3&21&4\\3&9&-2\\2&10&-1\end{array}\right|=3\, (-9+20)-21\, (-3+4)+4\, (30-18)=60\\\\\\\Delta _3=\left|\begin{array}{ccc}3&-2&21\\3&4&9\\2&-1&10\end{array}\right|=3\, (40+9)+2\, (30-18)+21\, (-3-8)=-60\\\\\\x_1=\dfrac{\Delta _1}{\Delta }=\dfrac{-300}{-60}=5\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{\Delta _2}{\Delta }=\dfrac{60}{-60}=-1\ \ ,\ \ x_3=\dfrac{\Delta _3}{\Delta }=\dfrac{-60}{-60}=1$

Ответ:  $\bf (\ 5\ ;-1\ ;\ 1\ )$  .

2)  С помощью обратной матрицы . Запишем матрицу системы .

$\bf A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&4\\3&4&-2\\2&-1&-1\end{array}\right)\ \ ,\ \ \ detA=-60\ne 0$    

Найдём алгебраические дополнения к матрице системы .

$\bf A_{11}=-6\ \ \ ,\ \ \ A_{12}=-1\ \ \ ,\ \ \ A_{13}=-11\\\\A_{21}=-6\ \ \ ,\ \ \ A_{22}=-11\ \ \ ,\ \ \ A_{23}=-1\\\\A_{31}=-12\ \ \ ,\ \ A_{32}=18\ \ \ \ ,\ \ \ \ A_{33}=18$    

Обратная матрица имеет вид

$\bf A^{-1} =-\dfrac{1}{60}\cdot \left(\begin{array}{ccc}-6&-6&-12\\-1&-11&18\\-11&-1&18\end{array}\right)$  

Находим решение системы из равенства

$\bf X=A^{-1}\cdot B=\bf A^{-1} =-\dfrac{1}{60}\cdot \left(\begin{array}{ccc}-6&-6&-12\\-1&-11&18\\-11&-1&18\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}21\\9\\10\end{array}\right)=\\\\\\=-\dfrac{1}{60}\cdot \left(\begin{array}{ccc}-300\\60\\-60\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5\\-1\\1\end{array}\right)$    

3)  Метод Гаусса . Составим расширенную матрицу и приведём

его к ступенчатому виду . ( Обозначение:  str - строка .)

$\left(\begin{array}{cccc}3&-2&4&\ |\ 21\\3&4&-2&\ |\ \ 9\\2&-1&-1&\ |\ 10\end{array}\right)\sim \ \ 2str-1str\ ;\ \ -2\cdot 1str+3str\ \ \sim \\\\\\\sim\ \left(\begin{array}{cccc}3&-2&4&|\ \ 21\\0&6&-6&\ |-12\\0&1&-11&\ |-12\end{array}\right)\sim \ \ 2str:6\ ;\ \ 2str\leftrightarrow \ 3str\ \ \sim$  

$\sim \left(\begin{array}{cccc}3&-2&4&\ |\ \ \ 21\\0&1&-11&\ |-12\\0&1&-1&\ |\ -2\end{array}\right)\sim \ \ 3str-1str\ \ \sim \left(\begin{array}{cccc}3&-2&4&\ |\ \ \ 21\\0&1&-11&\ |-12\\0&0&10&\ |\ \ \ 10\end{array}\right)$

На основании последней матрицы запишем систему .

$\left\{\begin{array}{r}\bf 3x_1-2x_2+4x_3=21\\\bf x_2-11x_3=-12\\\bf 10x_3=10\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{r}\bf 3x_1-2x_2+4x_3=21\\\bf x_2-11=-12\\\bf x_3=1\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{r}\bf 3x_1+2+4=21\\\bf x_2=-1\\\bf x_3=1\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf x_1=5\\\bf x_2=-1\\\bf x_3=1\end{array}\right$