Question

напомните как решать плиз cosxcos4x=cos5x​

Answer 1

Формула разности косинусов:

$\cos \alpha-\cos\beta =-2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}$

Формула произведения косинусов:

$\cos \alpha \cos\beta =\dfrac{1}{2} \left( \cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \right)$

Рассмотрим уравнение:

$\cos x\cos4x=\cos5x$

В левой части применяем формулу произведения косинусов:

$\dfrac{1}{2}\left( \cos (x+4x)+\cos(x-4x)\right)=\cos5x$

$\dfrac{1}{2}\left( \cos5x+\cos(-3x)\right)=\cos5x$

$\dfrac{1}{2}\left( \cos5x+\cos3x\right)=\cos5x$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\cos5x+\cos3x=2\cos5x$

$\cos3x-\cos5x=0$

В левой части применяем формулу разности косинусов:

$-2\sin\dfrac{3x+5x}{2} \sin\dfrac{3x-5x}{2} =0$

$-2\sin4x\sin(-x)=0$

$2\sin4x\sin x=0$

$\sin4x\sin x=0$

Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей:

$\left[\begin{array}{l} \sin4x =0 \\ \sin x=0\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} 4x =\pi n \\ x=\pi n\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} x =\dfrac{\pi n}{4} \\ x=\pi n\end{array}\right.,\ n\in\mathbb{Z}$

Заметим, что все корни второй серии встречаются среди корней первой серии. Поэтому, запись ответа можно упростить:

$x =\dfrac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}$