Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!!!! СРОЧНО!!!!
ДАЮ ВСЕ БАЛЛЫ, ЧТО У МЕНЯ ЕСТЬ :(((

1. Об'єм циліндра дорівнює 100п см3. Знайдіть площу повної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює 4 см.

2. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює d і утворює з твірною циліндра кут а (альфа). Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

3. Висота конуса дорівнює 6 см, а кут при вершині осьового перерізу - 120°. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

4. Через вершину конуса проведено площину, що перетинає основу по хорді, яка стягує дугу 90°. Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо його твірна дорівнює L, а кут у перерізі при вершині конуса - 60°.​

Answer 1

Ответ:

1. Площадь полной поверхности цилиндра равна 90π см².

2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна πd²sinα cosα.

3. Площадь боковой поверхности конуса равна 72√3π см².

4. Площадь полной поверхности конуса равна $\displaystyle \frac{\pi L^2}{2}(\sqrt{2}+1)$  ед.²

Объяснение:

1. Объем цилиндра равен 100π см³. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если его высота равна 4 см.

2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и образует с образующей цилиндра угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Высота конуса равна 6 см, а угол при вершине осевого сечения - 120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, которая стягивает дугу 90°. Найдите площадь полной поверхности конуса, если его образующая равна L, а угол в сечении при вершине конуса - 60°.​

1. Дано: цилиндр;

Vц = 100π см³;

h = 4 см.

Найти: Sполн.

Решение:

• Площадь полной поверхности найдем по формуле:

     Sполн. = 2Sосн. + Sбок.

• Объем цилиндра равен:

     V = πr²h,

где r - радиус основания; h - высота цилиндра.

V = 100π см; h = 4 см

100π = πr² · 4   ⇒   r² = 25   ⇒   r = 5 см

• Площадь боковой поверхности равна:

      Sбок. = 2πrh

Sбок. = 2π · 5 · 4 = 40π (см²)

• Площадь основания равна:

     Sосн. = πr²

Sосн. = 25π см²

⇒ Sполн. = 2 · 25π + 40π = 90π (см²)

Площадь полной поверхности цилиндра равна 90π см².

2. Дано: цилиндр;

ABCD - осевое сечение;

АС = d; ∠BAC = α.

Найти: Sбок.

Решение:

• Площадь боковой поверхности цилиндра равна:

       Sбок. = 2πrh,

где r - радиус основания; h - высота цилиндра.

Найдем r и h.

Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

АС = d; ∠BAC = α.

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle sin\alpha = \frac{BC}{AC}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;BC=d\cdot sin\alpha$

ВС = 2r - диаметр основания цилиндра.

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle cos\alpha = \frac{AB}{AC}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;AB=d\cdot cos\alpha$

AB = h - высота цилиндра.

⇒ Sбок. = 2πrh = π · d · sinα · d · cosα = πd²sinα cosα

Площадь боковой поверхности цилиндра равна πd²sinα cosα.

3. Дано: конус;

АВС - осевое сечение;

ВО = 6 см - высота конуса;

∠АВС = 120°.

Найти: Sбок.

Решение:

• Площадь боковой поверхности конуса равна:

        Sбок. = πrl,

где r - радиус основания; l - образующая конуса.

Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой.

⇒ ∠ОВС = 120° : 2 = 60°

Рассмотрим ΔОВС - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle tg60^0=\frac{OC}{OB} \\\\OC=OB\cdot tg60^0 = 6\cdot \sqrt{3}\;_{(CM)}$

Найдем l:

$\displaystyle cos60^0=\frac{OB}{BC}\\ \\BC=\frac{OB}{cos60^0}=6\cdot 2 = 12\;_{(CM)}$

⇒ Sбок. = πrl = π · 6√3 · 12 = 72√3 π (см²)

Площадь боковой поверхности конуса равна 72√3π см².

4. Дано: конус;

АКВ - сечение;

◡АВ = 90°;

КВ = L; ∠АКВ = 60°

Найти: Sполн.

Решение:

• Площадь полной поверхности конуса найдем по формуле:

          Sполн. = πrl + πr²,

где r - радиус основания; l - образующая конуса.

Рассмотрим ΔАКВ - равнобедренный.

∠АКВ = 60°.

• Если в равнобедренном треугольнике есть угол 60°, то он равносторонний.

⇒ АК = КВ = АВ = L

Рассмотрим ΔАОВ - равнобедренный (АО = ОВ = R).

• Центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠АОВ = ◡АВ = 90°

ΔАОВ - равнобедренный, прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем R:

AB² = AO² + OB²

L² = 2R²   ⇒    R = L/√2

Sполн. = πrl + πr² =

$\displaystyle =\pi \cdot\frac{L}{\sqrt{2} } \cdot L+\pi \cdot\frac{L^2}{2} =\\\\=\frac{\sqrt{2}\pi L^2 }{2} +\frac{\pi L^2}{2}=\frac{\pi L^2}{2}(\sqrt{2}+1)$

Площадь полной поверхности конуса равна $\displaystyle \frac{\pi L^2}{2}(\sqrt{2}+1)$  ед.²

#SPJ1