Ответы
It's Denis
Відомо, x+2y=6. Доведіть, що x^2+4y^2>=18
Можна довести дану нерівність за допомогою методу підстановки.
За умовою, x + 2y = 6. Можна виразити x через y, віднявши 2y з обох сторін:
x = 6 - 2y
Тепер, застосовуючи метод підстановки, підставимо цей вираз для x у ліву частину нерівності:
x^2 + 4y^2 = (6 - 2y)^2 + 4y^2
Розкриваємо дужки та спрощуємо:
x^2 + 4y^2 = 36 - 24y + 4y^2 + 4y^2
x^2 + 4y^2 = 8y^2 - 24y + 36
x^2 + 4y^2 = 8(y^2 - 3y + 9/2)
Залишилось довести, що вираз у дужках дорівнює або більший за 2, оскільки 8 * 2 = 16, а це менше за 18.
Для цього скористаємось формулою для знаходження вершини параболи:
x = -b/2a, де a = 8, b = -3.
x = -(-3)/(2*8) = 3/16
Оскільки a > 0, то мінімальне значення функції досягається в точці x = 3/16. Підставляючи це значення в вираз, отримаємо:
y^2 - 3y + 9/2 = (y - 3/2)^2 + 3/4 >= 0
Отже,
8(y^2 - 3y + 9/2) >= 8 * 3/4 = 6
Отже, ми довели, що x^2 + 4y^2 >= 18, що і було потрібно довести.