Question

знайдіть найбільше і найменше значення функції y=x³+3/2x² на проміжку [-2; 1]

Answer 1

Объяснение:

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на даному проміжку, спочатку знайдемо значення функції в кінцях проміжку, тобто в точках x = -2 та x = 1, а потім знайдемо критичні точки на проміжку та порівняємо значення функції в цих точках.

Значення функції в кінцях проміжку:

y(-2) = (-2)³ + 3/2(-2)² = -8 + 6 = -2

y(1) = (1)³ + 3/2(1)² = 1 + 3/2 = 5/2

Тепер знайдемо критичні точки функції, тобто точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує. Похідна функції y = x³ + 3/2x²:

y' = 3x² + 3x

Розв'язуємо рівняння y' = 0:

3x² + 3x = 0

x(3x + 3) = 0

x = 0 або x = -1

Перевіримо, чи існує похідна у точках x = -2 та x = 1:

y'' = 6x + 3

y''(-2) = 6(-2) + 3 = -9 ≠ 0

y''(1) = 6(1) + 3 = 9 ≠ 0

Таким чином, ми бачимо, що на проміжку [-2; 1] є дві критичні точки: x = -1 та x = 0.

Значення функції в критичних точках:

y(-1) = (-1)³ + 3/2(-1)² = -1/2

y(0) = 0

Отже, максимальне значення функції на проміжку [-2; 1] дорівнює 5/2, а мінімальне значення дорівнює -1/2.