Ответы
Ответ:
Формула для площади правильного многоугольника: $S = \frac{1}{2}Pa$, где $P$ - периметр, $a$ - апофема.
Подставляем данные: $253 = \frac{1}{2}Pa\Rightarrow P = \frac{2 \cdot 253}{5V/3} = \frac{506}{5V/3} = \frac{1818}{V}$.
Теперь найдем количество сторон правильного многоугольника. Апофема связана со стороной правильного многоугольника $a$ и радиусом описанной окружности $R$ следующим образом: $a = 2R \cdot \sin(\frac{\pi}{n})$, где $n$ - количество сторон.
Подставляем данные: $5V/3 = 2R \cdot \sin(\frac{\pi}{n})\Rightarrow n = \frac{\pi}{\arcsin(\frac{5V}{6R})}$.
Таким образом, периметр правильного многоугольника равен $P = \frac{1818}{V}$, где $V = \frac{5}{3} \cdot (\frac{a}{2})^2 \cdot \pi \cdot n$ - объем правильного многоугольника. Подставляем значение $n$ и получаем:
$P = \frac{1818}{\frac{5}{3} \cdot (\frac{a}{2})^2 \cdot \pi \cdot \frac{\pi}{\arcsin(\frac{5V}{6R})}} = \frac{5448 \arcsin(\frac{5V}{6R})}{5a^2\pi}$.
Осталось подставить значение апофемы $a = 5V/3$ и получить периметр:
$P = \frac{5448 \arcsin(\frac{5V}{6R})}{\frac{25}{9}\pi V} = \frac{1962.24}{V}$.
Теперь, зная, что площадь равна 253 см$^2$, можем найти $V$:
$253 = \frac{1}{2}Pa = \frac{1}{2}P \cdot \frac{5V}{3} \Rightarrow V = \frac{253 \cdot 6}{5P} = \frac{3036}{P}$.
Подставляем значение $V$ в выражение для периметра:
$P = \frac{1962.24}{\frac{3036}{P}} = \frac{6144}{31} \approx 198.06$.
Периметр ближе всего к варианту ответа C) 10