Ответы
Ответ дал:
1
Ответ:
Чтобы интегрировать это выражение, мы можем использовать u-замещение. Пусть u = x^2 + 2x - 1. Тогда du/dx = 2x + 2, или (1/2)du/dx = x + 1.
tooxicc:
Можете пожалуйста полностью обьяснить решение
Хорошо
Мы можем использовать частичное дробное разложение для упрощения интеграла.
Во-первых, нам нужно учесть знаменатель:
x^2 + 2x - 1 = (x + 1 + √2)(x + 1 - √2)
Затем мы можем написать:
x^3 / (x^2 + 2x - 1) = A/(x + 1)
Умножив обе стороны на знаменатель и упростив, получим:
x^3 = A(x + 1 - √2) + B(x + 1 + √2)
Установка x = -1 + √2, мы
-1 + √2 = A(√2)
A = (-1 + √2) / √2
Установив x = -1 - √2, получаем:
-1 - √2 = B(-√2)
Во-первых, нам нужно учесть знаменатель:
x^2 + 2x - 1 = (x + 1 + √2)(x + 1 - √2)
Затем мы можем написать:
x^3 / (x^2 + 2x - 1) = A/(x + 1)
Умножив обе стороны на знаменатель и упростив, получим:
x^3 = A(x + 1 - √2) + B(x + 1 + √2)
Установка x = -1 + √2, мы
-1 + √2 = A(√2)
A = (-1 + √2) / √2
Установив x = -1 - √2, получаем:
-1 - √2 = B(-√2)
B = (1 + √2) / √2
Теперь мы можем интегрировать:
∫x^3/(x^2+2x-1)dx = ∫[(−1+√2)/(2√2)(x+1+√2)]dx + ∫[(1+√2)/(2√2)(x+1−√2)]dx
Используя подстановку u = x + 1 + √2 в первом интеграле и you = x + 1 - √2 во втором интеграле, получаем:
∫[(−1+√2)/(2√2)(x+1+√2)]dx = (−1+√2)/(2√2) ∫(u - √2)du = (−1+√2)/(2√2) [u^2/2 - √2u] + C1
Теперь мы можем интегрировать:
∫x^3/(x^2+2x-1)dx = ∫[(−1+√2)/(2√2)(x+1+√2)]dx + ∫[(1+√2)/(2√2)(x+1−√2)]dx
Используя подстановку u = x + 1 + √2 в первом интеграле и you = x + 1 - √2 во втором интеграле, получаем:
∫[(−1+√2)/(2√2)(x+1+√2)]dx = (−1+√2)/(2√2) ∫(u - √2)du = (−1+√2)/(2√2) [u^2/2 - √2u] + C1
∫[(1+√2)/(2√2)(x+1−√2)]dx = (1+√2)/(2√2) ∫(u + √2)du = (1+√2)/(2√2) [u^2/2 + √2u] + C2
Подставив обратно u = x + 1 + √2 и вы = x + 1 - √2 и упрощая, получим:
∫x^3/(x^2+2x-1)dx = (-1+√2)/(4√2)[(x+1+√2)^2 - 2√2(x+1+√2)] + (1+√2)/(4√2)[(x+1-√2)^2 + 2√2(x+1-√2)] + C
Упрощая дальше,
∫x^3/(x^2+2x-1)dx = [(1-√2)x^2 - 2(1+√2)x - 3√2]/(8(√2 + 1)(x^2+2x-1)) + C
Подставив обратно u = x + 1 + √2 и вы = x + 1 - √2 и упрощая, получим:
∫x^3/(x^2+2x-1)dx = (-1+√2)/(4√2)[(x+1+√2)^2 - 2√2(x+1+√2)] + (1+√2)/(4√2)[(x+1-√2)^2 + 2√2(x+1-√2)] + C
Упрощая дальше,
∫x^3/(x^2+2x-1)dx = [(1-√2)x^2 - 2(1+√2)x - 3√2]/(8(√2 + 1)(x^2+2x-1)) + C
Спасибо
Вас заинтересует
1 год назад
3 года назад
3 года назад
8 лет назад