Question

Доведіть що значення виразу 5
⁹+ 3¹² ділиться наділо на 103.​

Answer 1

Ответ:

Щоб довести, що значення виразу 5⁹ + 3¹² ділиться на 103, ми можемо скористатися теорією залишків.За алгоритмом ділення виконуємо такі кроки:Обчислимо залишок від ділення 5⁹ на 103.За теоремою малого Ферма, яка стверджує, що якщо p - просте число, a - ціле число, не кратне p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Ми можемо застосувати цю теорему, тому що 103 - просте число, а 5 не кратне 103.Оскільки 103 - просте число, то за теоремою малого Ферма: 5^(102) ≡ 1 (mod 103)Поділимо показник 9 на 102, щоб визначити залишок від ділення 9 на 102: 9 ≡ 102 (mod 103)

Тоді за залишковою теоремою: 5⁹ ≡ 5^(102 * 1 + 9) ≡ (5^(102))^1 * 5^9 ≡ 1^1 * 1953125 ≡ 37 (mod 103)

2. Обчислимо залишок від ділення 3¹² на 103.Поділимо показник 12 на 102, щоб визначити залишок від ділення 12 на 12 ≡ 6 * 2 (mod 102)Тоді за теоремою Ейлера: 3^(102) ≡ 1 (mod 103) Тоді: 3¹² ≡ (3^6)^2 * 3^0 ≡ 1^2 * 1 ≡ 1 (mod 103)

3. Обчислимо залишок від ділення суми 37 + 1 на 103.
37 + 1 ≡ 38 (mod 103)

4. Залишок від ділення суми 5⁹ + 3¹² на 103 дорівнює залишку від ділення суми 37 + 1 на 103.
5⁹ + 3¹² ≡ 38 (mod 103)Отже, ми довели, що значення виразу 5⁹ + 3¹² ділиться на 103.

Answer 2

5^9 + 3^12 = (5^3)^3 + (3^4)^3 = (5^3 + 3^4)* (5^6+ 5^3 * 3^4 + 3^8) = (125+81) * (5^6+ 5^3 * 3^4 + 3^8) = 206 * (5^6+ 5^3 * 3^4 + 3^8)

Оскільки, 206 кратне 103 (206:103=2), то і весь вираз ( 5^9 + 3^12) кратний 103