Question

Помогите решить одно задание по математике. Заранее спасибо.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями: x=√y, y=1, y=4.

Answer 1

Для решения этой задачи мы будем использовать метод цилиндров высотой dx.

Сначала мы найдем функцию, описывающую границу фигуры. Эта фигура ограничена линиями x=√y, y=1 и y=4, и выглядит как половина параболы, повернутой вокруг оси Oy. Введем новую переменную z=√y, тогда наша фигура ограничена линиями x=z, z=1 и z=2.

Теперь мы можем выразить функцию x(z) через z: x(z) = z. Мы также можем выразить z(x) через x: z(x) = x^2.

Для каждого слоя высотой dx, мы можем построить цилиндр высотой dx и радиусом r(x) = x. Объем каждого такого цилиндра равен πr^2dx = πx^2dx.

Чтобы найти объем всей фигуры, мы должны проинтегрировать эту формулу по x от x=1 до x=2:

V = ∫(1→2) πx^2dx = π ∫(1→2) x^2dx = π [x^3/3]_(1→2) = π [(2^3/3) - (1^3/3)] = 7π/3

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями x=√y, y=1, y=4, равен 7π/3.