387. Хорда кола, що міститься від його центра на відстані
4 см, утворює з радіусом, проведеним в один з її кінців
кут, що дорівнює 30º. Знайдіть діаметр кола.
Ответы
Ответ:
У задачі 2 способи рішення, обери який для тебе зручніший
Объяснение:
1 спосіб:
Ми можемо використати геометричну конструкцію, щоб знайти рішення цієї задачі.
Спочатку ми малюємо коло з центром O і радіусом r, а потім малюємо хорду AB, яка перетинає радіус OA під кутом 30°. Ми позначаємо точку перетину M.
Тоді, за теоремою про хорду, яка проходить через центр кола, довжина OM дорівнює радіусу r. Оскільки AM і MB мають однакову довжину (тому що кут, утворений радіусом і хордою, є 30°), то AM і MB дорівнюють половині довжини хорди AB.
За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику OAM ми можемо знайти довжину OA:
OA^2 = OM^2 + AM^2
r^2 = (r-4)^2 + (AB/2)^2
розкриваємо дужки і скорочуємо подібні члени:
0 = 16r - AB^2
З іншого боку, ми можемо використовувати трикутник OMB і ту саму теорему Піфагора, щоб знайти довжину OB:
OB^2 = OM^2 + MB^2
r^2 = (r+4)^2 + (AB/2)^2
0 = -8r - AB^2
Тепер ми маємо систему рівнянь:
0 = 16r - AB^2
0 = -8r - AB^2
З першого рівняння ми можемо виразити AB^2 як 16r, а з другого - як -8r. Підставляючи одне значення в інше, отримуємо:
16r = -8r
24r = 0
r = 0
Отже, діаметр кола дорівнює 0. Але це не можливо, тому що діаметр має бути додатнім числом. Це означає, що задача не має розв'язку. Можливо, була допущена помилка в умові.
2 спосіб:
Ми знаємо, що кут AOB дорівнює 60° (оскільки кут AOM дорівнює 30°, а кут AOB є доповнюючим до кута AOM). Тоді, за теоремою косинусів:
AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 * AO * BO * cos(AOB)
Ми можемо використовувати те, що AM = MB = AB/2, а також що AO = BO = r, отже:
AB^2 = 2r^2 - 2r^2 * cos(60°)
AB^2 = 2r^2 - r^2 = r^2
Тому AB = r.
Ми також знаємо, що відрізок, який з'єднує центр кола з точкою дотику хорди, перпендикулярний до хорди. Тому, за теоремою Піфагора, ми можемо записати:
r^2 = (AB/2)^2 + 4^2
Підставивши AB = r з попереднього рівняння, ми отримаємо:
r^2 = (r/2)^2 + 16
Розв'язавши це рівняння, ми отримуємо:
r^2 = 64
r = 8
Отже, діаметр кола дорівнює 2r = 16 см.