У трикутнику ABC проведено медіану ВО завдовжки 6 см і висоту ВD. Кут DВО між ними дорівнює 30°. Знайдіть основу AC, якщо DC=5 см.
Ответы
Ответ дал:
0
Для розв'язання задачі використаємо властивості медіани трикутника. Медіана трикутника ділить сторону на дві рівні частини і утворює з цією стороною кут, який дорівнює куту протилежного вершини.
Оскільки медіана ВО ділить сторону AC навпіл, то ОВ = ВС. Нехай точка E - середина сторони AC. Тоді медіана ВО і висота ВD перетинаються в точці E. Оскільки кут DВО дорівнює 30 градусів, а кут ВЕD прямий, то кут ВЕО дорівнює 60 градусам (комплементарний до кута DВО).
Розглянемо прямокутний трикутник ВЕО. Оскільки ВО = ВС, то трикутник ВЕО є рівностороннім. Звідси ОЕ = ВЕ = ЕС.
Тепер розглянемо трикутник ВДС. Він є прямокутним, тому за теоремою Піфагора маємо:
$VD^2 = BD^2 - BV^2 = 3^2 - (\frac{1}{2} AC)^2$
Оскільки DC = 5, то AC = AD + DC = 2OE + 5. За теоремою Піфагора також маємо:
$BD^2 = BO^2 - OD^2 = (\frac{1}{2} AC)^2 - 6^2$
Підставляючи ці вирази в попередній рядок, отримуємо:
$3^2 - (\frac{1}{2} AC)^2 = (\frac{1}{2} AC)^2 - 6^2$
Розв'язуючи це рівняння, маємо:
$\frac{1}{4} AC^2 = 45$
$AC^2 = 180$
$AC = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$
Отже, основа AC дорівнює 6√5 см.
Оскільки медіана ВО ділить сторону AC навпіл, то ОВ = ВС. Нехай точка E - середина сторони AC. Тоді медіана ВО і висота ВD перетинаються в точці E. Оскільки кут DВО дорівнює 30 градусів, а кут ВЕD прямий, то кут ВЕО дорівнює 60 градусам (комплементарний до кута DВО).
Розглянемо прямокутний трикутник ВЕО. Оскільки ВО = ВС, то трикутник ВЕО є рівностороннім. Звідси ОЕ = ВЕ = ЕС.
Тепер розглянемо трикутник ВДС. Він є прямокутним, тому за теоремою Піфагора маємо:
$VD^2 = BD^2 - BV^2 = 3^2 - (\frac{1}{2} AC)^2$
Оскільки DC = 5, то AC = AD + DC = 2OE + 5. За теоремою Піфагора також маємо:
$BD^2 = BO^2 - OD^2 = (\frac{1}{2} AC)^2 - 6^2$
Підставляючи ці вирази в попередній рядок, отримуємо:
$3^2 - (\frac{1}{2} AC)^2 = (\frac{1}{2} AC)^2 - 6^2$
Розв'язуючи це рівняння, маємо:
$\frac{1}{4} AC^2 = 45$
$AC^2 = 180$
$AC = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$
Отже, основа AC дорівнює 6√5 см.
Вас заинтересует
3 месяца назад
3 месяца назад
4 месяца назад
4 месяца назад
1 год назад
1 год назад
7 лет назад
7 лет назад