Question

Доведіть, що при всіх дійсних значеннях m і n виконується нерівність:
m^2+mn+n^2+2m-2n≥-4 ​

Answer 1

Ответ:

Для доведення даної нерівності ми можемо скористатися методом доповнення квадрату, тобто спробуємо записати ліву частину нерівності у вигляді суми квадратів.

Маємо:

m^2 + mn + n^2 + 2m - 2n

Звернімо увагу на те, що коефіцієнти при m^2 та n^2 є однаковими і дорівнюють 1. Тому спробуємо спочатку доповнити квадрат до виразу m^2 + 2am + a^2 + n^2 + 2bn + b^2, де a та b - це деякі константи, які ми повинні знайти.

Для цього ми можемо записати:

m^2 + 2am + a^2 = (m + a)^2 - a^2

n^2 + 2bn + b^2 = (n + b)^2 - b^2

Підставляючи це у вираз, ми отримаємо:

m^2 + mn + n^2 + 2m - 2n = (m + a)^2 - a^2 + (n + b)^2 - b^2 + 2m - 2n

Звернімо увагу, що для того, щоб доповнення квадрату було можливим, коефіцієнти при m та n повинні дорівнювати 2a та 2b відповідно. Тобто ми повинні мати:

2a = 2

2b = -2

Розв'язуючи ці рівняння, ми отримуємо:

a = 1

b = -1

Підставляючи ці значення, ми отримуємо:

m^2 + mn + n^2 + 2m - 2n = (m + 1)^2 - 1 + (n - 1)^2 + 2(m - 1)

Тепер ми можемо записати дану нерівність у вигляді:

(m + 1)^2 + (n - 1)^2 + 2(m - 1) - 1 ≥ -4

Або ж:

(m + 1)^2 + (n - 1)^2 + 2(m - 1) ≥ 3

Ця нерівність очевидно виконується, оскільки квадрати завжди не менше нуля, а останній доданок дорівнює -2, що не може зменшити суму квадратів. Тому ми довели, що при всіх дійсних значеннях m і n виконується нерівність:

m^2+mn+n^2+2m-2n≥-4