Question

Ортогональною проекцією прямокутника, сторони якого дорівнюють 6см і 4см, є чотирикутник, площа якого дорівнює 12 см². Знайти кут між площинами чотирикутників.​

Answer 1

Позначимо прямокутник ABCD, де AB = 6 см і BC = 4 см. Його ортогональна проекція утворює чотирикутник A'B'C'D'.

Позначимо кут між площинами прямокутника та його ортогональної проекції як α. Якщо ми знайдемо кут A'CD', то зможемо знайти кут α як його доповнення до 90°.

Площа прямокутника ABCD дорівнює 24 см², тому площа його проекції A'B'C'D' дорівнює половині цієї величини, тобто 12 см².

Звернімо увагу, що кут між вектором AC і вектором CD' дорівнює прямому куту (оскільки прямокутник ABCD перпендикулярний до площини проекції). Так само, кут між вектором A'C і вектором CD' дорівнює прямому куту.

Отже, кут A'CD' дорівнює різниці кутів BCD та BCA', тобто:

A'CD' = BCD - BCA'

Для знаходження кута BCD скористаємося теоремою Піфагора, оскільки трикутник BCD прямокутний:

BD² = BC² + CD²
BD² = 4² + 6²
BD = 2√13

Тепер можна знайти косинус кута BCD:

cos BCD = BC/BD = 4/2√13 = 2√13/13

А для знаходження кута BCA' скористаємося теоремою синусів у трикутнику ABC:

sin BCA' = A'C/BC = 12/10 = 6/5

тому що A'C дорівнює діагоналі прямокутника ABCD, яка має довжину 10 см.

Отже, кут BCA' дорівнює arcsin(6/5).

Тепер ми можемо обчислити кут A'CD':

A'CD' = BCD - BCA'
A'CD' = arccos(2√13/13) - arcsin(6/5)
A'CD' ≈ 25.08°

Оскільки α дорівнює доповненню кута A'CD' до 90°