Кут між твірною конуса і площиною його основи дорівнює ф. А площа осьового перерізу конуса дорівнює S. Знайдіть площу повної поверхні конуса.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
Розглянемо правильний конус з основою, що має форму круга. Нехай r - радіус цього круга, а l - обернена сторона конуса.Тоді, за теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, що утворюється проекцією оберненої сторони на площину основи, виконується рівність:
r² = l² + h²,
де h - висота конуса.
Площа осьового перерізу дорівнює площі круга з радіусом r:
S = πr²
Площа бічної поверхні конуса складається з частини циліндра, що утворюється розгортанням бічної поверхні конуса, і трикутника, що утворюється обертанням бічної сторони конуса навколо його осі.
Площа циліндра:
Sc = 2πrh,а площа трикутника може бути знайдена за формулою:
St = πr * l * tg(ф/2)
Отже, площа повної поверхні конуса:
Sповна = S + Sc + St = πr² + 2πrh + πr * l * tg(ф/2)
За теоремою Піфагора знаходимо обернену сторону конуса:
l = √(r² + h²)
Підставляємо l в формулу для площі повної поверхні:
Sповна = πr² + 2πrh + πr * √(r² + h²) * tg(ф/2)
Для того, щоб знайти площу повної поверхні, потрібно знати радіус r, висоту h та кут ф. З формули для площі осьового перерізу S, можна виразити радіус r:
r = √(S/π)
За допомогою тригонометричних функцій можна виразити висоту h через радіус r і кут ф:
tg(ф/2) = h/rh = r * tg(ф/2) = √(S/π) * tg(ф/2)
Підставляємо ці вирази для r та h в формулу для площі повної поверхні:
Sповна = πr(r + l) + Sб = πr² + πrl + Sб = πr² + πrgtan(ф/2) + Sб
Отже, підставляючи вираз для r та h, маємо:
Sповна = π((S/π) + (S/tan²(ф/2))) + Sб або Sповна = πS(1 + 1/tan²(ф/2)) + Sб
Де S - площа основи конуса, Sб - бічна поверхня конуса, а ф - кут між генератрицею та площиною основи конуса.