421. На прямій позначили точки А, В і С так, що точка В
лежить між точками А і С, причому ВС=2AB. Hi-
різку ВС позначили точку D так, що BD:DC=3:7.
Знайдіть відстань між серединами відрізків AB і CD,
якщо відрізок CD на 16 см довший за відрізок BD.
Ответы
Позначимо середину відрізка AB як точку M, а середину відрізка CD як точку N. Оскільки ВС=2AB, то можна записати AB = BC/2. Також, оскільки BD:DC=3:7, то можна записати BC = BD + DC = 3x + 7x = 10x, де x - довжина відрізку BD.
З іншого боку, за умовою відрізок CD на 16 см довший за відрізок BD, тобто DC = 7x і BD = 3x. Тоді BC = 10x.
Розглянемо трикутник BCD. Оскільки BD:DC=3:7, то можна записати BD = 3k і DC = 7k для довільного числа k. За теоремою Піфагора для трикутника BCD маємо:
BC^2 = BD^2 + DC^2
(10x)^2 = (3k)^2 + (7k)^2
100x^2 = 58k^2
x^2 = 29/50 k^2
Також за теоремою Піфагора для трикутника AMB маємо:
AB^2 = AM^2 + BM^2
AB^2 = (BC/2)^2 + BM^2
AB^2 = (5x)^2/4 + BM^2
AB^2 = 25/4 x^2 + BM^2
Аналогічно, за теоремою Піфагора для трикутника CND маємо:
CD^2 = CN^2 + DN^2
CD^2 = (BC + BD + DC)^2 = (10x + 3x + 7x)^2 = 400x^2
CN^2 = CD^2 - DN^2 = CD^2 - (DC/2)^2 = 400x^2 - 49k^2/4
Залишилося знайти BM та DN і використати формулу для відстані між точками:
MN = sqrt((BM - DN)^2 + (AB - CN)^2)
З теореми Піфагора для трикутника BCD можна знайти DN:
DC^2 = DN^2 + CN^2
(7k)^2 = DN^2 + (CN - AB)^2
DN^2 = 49k^2 - (10x)^2
DN^2 = 49k^2 - 250x^2
Тепер з теореми Піфагора для трикутника AMB можна знайти BM:
AB^2 = AM^2 + BM^2
AB^2 = AM^2 + (BC/2 - AM)^2
AB^2 = AM^2 + (5x - AM)^2
AB^2 = 2AM^2 + 25x^2 - 10