Ответы
Для того, щоб довести, що значення виразу 8^6 − 5*4^7 кратне 11, можна використати теорему Малого Ферма.
Згідно з цією теоремою, якщо p є просте число, а a є ціле число, яке не ділиться на p, то a^(p-1) - 1 ділиться на p.
Таким чином, щоб застосувати теорему Малого Ферма до даного виразу, необхідно перевірити, чи ділиться 8 та 5 на 11, оскільки 11 є простим числом.
8 не ділиться на 11, але 5 = 11 - 6, тому можна записати:
8^6 − 54^7 = 8^6 - (11 - 6)4^7 = 8^6 - 114^7 + 64^7
Далі можна застосувати теорему Малого Ферма:
8^10 ≡ 1 (mod 11) (оскільки 8 та 11 є взаємно простими числами)
4^7 ≡ (4^10)^0.7 ≡ 1^0.7 ≡ 1 (mod 11) (оскільки 4 та 11 є взаємно простими числами)
Тоді:
8^6 − 114^7 + 64^7 ≡ 8^6 - 111 + 61 ≡ 8^6 - 5 ≡ (8^10)^0.68^(-4) - 5 ≡ 1^0.68^(-4) - 5 ≡ 1*0.000244140625 - 5 ≡ -4.999755859375 ≡ 0 (mod 11)
Отже, значення виразу 8^6 − 5*4^7 кратне 11.