Question

1. Дана функция у = x² + 4x - 5
1) Найдите область определения функции
2) Найдите нули функции
3) Найдите координаты вершины параболы
4) Постройте график функции
5) Определите область значения функции
6) Определите ось симметрии
и 7) Определите промежутки
убывания функции*
ее 8) Определите
значение функции
а 9) Определите промежутки знакопостоянства
функции*
промежутки возрастания и
наибольшее и наименьшее

Answer 1

Область определения функции y = x² + 4x - 5 - все действительные числа x.
Найдем нули функции, приравняв y к нулю:
x² + 4x - 5 = 0
Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
D = b² - 4ac = 4² - 4·1·(-5) = 44
x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a = (-4 ± √44) / 2 = -2 ± √11
Ответ: x₁ = -2 + √11, x₂ = -2 - √11 - нули функции.
Координаты вершины параболы можно найти по формулам:
x₀ = -b / 2a = -4 / (2·1) = -2 - координата вершины по оси x.
y₀ = f(x₀) = x₀² + 4x₀ - 5 = (-2)² + 4(-2) - 5 = -9 - координата вершины по оси y.
Ответ: координаты вершины параболы (-2, -9).
График функции:
perl
|
-9|
| /\
| / \
| / \
| / \
|/ \
----+----------+-------
| |
-5 -1
Область значений функции - все действительные числа y, большие или равные -9.
Ось симметрии проходит через вершину параболы, т.е. имеет уравнение x = -2.
Проанализируем знак производной функции, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции. Найдем производную функции:
y' = 2x + 4
y' = 0 при x = -2
При x < -2 производная отрицательна, следовательно, функция убывает на промежутке (-∞, -2).
При x > -2 производная положительна, следовательно, функция возрастает на промежутке (-2, +∞).
Ответ: промежуток убывания (-∞, -2), промежуток возрастания (-2, +∞).
Значение функции в точке x определяется по формуле y = x² + 4x - 5.
Промежутки знакопостоянства функции определяются анализом знака самой функции. Решим неравенство y > 0:
x² + 4x - 5 > 0
(x - 1)(x + 5) > 0
Решаем неравенство методом интервалов:
x < -5