Три додатні числа, що дають в сумі 12, утворюють арифметичну прогресію. Якщо до них відповідно додати 1, 2, 6, то одержані числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть дані числа
Ответы
Ответ:
Позначимо три додатні числа, що утворюють арифметичну прогресію, через a, a+d та a+2d, де d - різниця прогресії.
За умовою, їх сума дорівнює 12, тобто:
a + (a+d) + (a+2d) = 12,
або
3a + 3d = 12,
що можна спростити до
a + d = 4. ---------(1)
Також, згідно з умовою, якщо до цих чисел додати 1, 2 та 6, то одержимо геометричну прогресію. Отже, ми можемо записати:
(a+1)/(a+d) = (a+d+2)/(a+2d), (a+2)/(a+d+2) = (a+2d+6)/(a+2d).
Перетворимо перше рівняння:
(a+1)/(a+d) = (a+d+2)/(a+2d)
(a+1)(a+2d) = (a+d)(a+d+2)
a^2 + 2ad + a + 2ad + 2d^2 = a^2 + 2ad + ad + 2d^2 + 2d
a^2 + 3ad - ad - 2d^2 - 2d - a = 0
a^2 + 2ad - 2d^2 - a - 2d = 0. ---------(2)
Аналогічно перетворимо друге рівняння:
(a+2)/(a+d+2) = (a+2d+6)/(a+2d)
(a+2)(a+2d) = (a+d+2)(a+2d+6)
a^2 + 4ad + 2a + 4d^2 = a^2 + 4ad + 8d + 6a + 6d + 12
a^2 - 4d^2 - 4a - 2d - 12 = 0
(a-2d-6)(a+2d+2) = 0. ---------(3)
Розв'язуємо систему рівнянь (1), (2) та (3).
З (1) маємо:
d = 4 - a.
Підставляємо це значення d в (2):
a^2 + 2a(4-a) - 2(4-a)^2 - a - 2(4-a) = 0
-3a^2 + 22a - 32 = 0
(3a - 16)(a - 2) = 0.
Отже, a = 2 або a = 16/3.
Якщо a = 2, то d = 4 - a = 2, і три числа, що утворюють арифметичну прогресі
Объяснение:
если не трудно, сделай лучшим ответом.