Question

Помогите пожалуйста 100 баллов
Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 12 и делит эту сторону на отрезки, относящиеся как 4: 9. Найдите диагонали ромба.

Answer 1

Ответ:

Диагонали ромба равны 12√13 и 8√13.

Объяснение:

Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 12 и делит эту сторону на отрезки, относящиеся как 4: 9. Найдите диагонали ромба.

Дано: ABCD - ромб;

АС и BD - диагонали;

ОН ⊥ AD;

DH : AH = 4 : 9

Найти: АС и BD.

Решение:

Рассмотрим ΔAOD.

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

⇒ ΔAOD - прямоугольный.

ОН - высота.

• Метрические отношения в прямоугольном треугольнике:
• 1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
• 2. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

OH = 12;  DH : AH = 4 : 9

Пусть DH = 4x, тогда AH = 9x.

1. OH² = DH · AH

144 = 4x · 9x

36x² = 144

x² = 4   ⇒   x = 2

DH = 8; AH = 18; AD = 18 + 8 = 26.

2. AO² = AH · AD = 18 · 26 = 468   ⇒  AO = √468 = 6√13

  OD² = HD · AD = 8 · 26 = 208   ⇒   OD = √208 = 4√13

• Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

⇒ АС = 6√13 · 2 = 12√13;

    BD = 4√13 · 2 = 8√13.