Question

Cos(-570⁰)+Sin(-300⁰)+2tg(-135⁰)=?

Answer 1

Ответ:

Cos(-570⁰)+Sin(-300⁰)+2tg(-135⁰)

-√3/2 + √3/2 +2 =2

Answer 2

Ответ:

2.

Объяснение:

$cos(-570^{o} )+sin(-300^{o} )+2tg(-135^{o} )$

Перед нами некое выражение. Мы видим различные тригонометрические функции различных углов. С первого взгляда назвать значения этих функций при данных углах мы не можем. Поэтому, для облегчения жизни, нам нужно вместо страшных и непонятных углов получить табличные значения (0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 180°). В этом нам помогут формулы приведения, а также несколько других приёмов для упрощения данного выражения и дальнейшего его вычисления.

→ Для начала избавимся от отрицательных углов. Для этого лишь вспомним, что функция косинуса - чётная. Поэтому справедливо следующее:

(!) cos (- a) = cos a,

Остальные же тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс) - нечётные. Так что для них справедливо следующее:

  sin (- a) = - sin a,
  tg (- a) = - tg a,

  ctg (- a) = - ctg a;

Воспользуемся этим свойством:

$cos(-570^{o} )+sin(-300^{o} )+2tg(-135^{o} )=\\=cos(570^{o} )-sin(300^{o} )-2tg(135^{o} );$

→ Далее, для нашего удобства выполним следующее действие:

$cos(570^{o} )-sin(300^{o} )-2tg(135^{o} )=\\=cos(570^{o}-360^{o} )-sin(300^{o} )-2tg(135^{o}) = \\= cos(210^{o} )-sin(300^{o})-2tg(135^{o} );$

→ Затем нам нужно воспользоваться формулами приведения (не от существительного приведение, а от глагола привести :) ). Для этого надо представить каждый данный нам угол как сумму (или разность) двух чисел:

∴ первого - одного из четырёх чисел, расположенных на тригонометрической окружности (90°; 180°; 270°; 360°), которое будет наиболее близко к нашему числу (берём именно эти градусные меры, так как они являются границами четвертей нашей окружности, а в последствии нам нужно будет узнавать в какой четверти будут находится тот или иной угол),

∵ второго - разности данного угла и первого числа (либо же, если мы взяли разность, разности первого числа и данного угла) - обычно это табличное значение из таблицы синусов:

$cos(210^{o} )-sin(300^{o})-2tg(135^{o} )=\\=cos(180^{o}+30^{o} )-sin(270^{o} +30^{o} )-2tg(90^{o} +45^{o} );$

→ Далее же начинаем сам процесс приведения.

Сперва мы определяем знак новой функции. Определить его очень просто: мы проверяем, в какой четверти находится угол старой функции. Если этот угол находится в четверти, в которой наша функция приобретает положительное значение, мы ставим плюс. Иначе (если функция приобретает отрицательное значение) мы ставим минус (то есть, синус является положительным в первой и второй четвертях; косинус является положительным в первой и третьей четвертях. Тангенс и котангенс положительны в первой и третьей четвертях).

Далее определяем - нужно ли нам заменить функцию на кофункцию (противоположную функцию: синус-косинус; тангенс-котангенс и наоборот). Для этого обратим внимание на то самое первое число, которое мы искали в прошлом пункте. Если на его месте стоит значение 180° или 360° - менять функцию мы не будем. Однако, если там будет стоять значение 90° или 270° - нам нужно будет заменить функцию на кофункцию.

$=cos(180^{o}+30^{o} )-sin(270^{o} +30^{o} )-2tg(90^{o} +45^{o} )=\\=-cos(30^{o} )-(-cos(30^{o} ))-(-2ctg(45^{o} ));$

→ Следом уберём лишние минусы, заменив их на плюсы (помним, что минус на минус даёт плюс):

$-cos(30^{o} )-(-cos(30^{o} ))-(-2ctg(45^{o} ))=\\=-cos(30^{o} )+cos(30^{o} )+2ctg(45^{o} );$

→ Затем взаимоуничтожаем два косинуса (так как их модули равны, а знаки противоположны):

$-cos(30^{o} )+cos(30^{o} )+2ctg(45^{o} )=0+2ctg(45^{o} );$

→ В конце концов нам нужно узнать значение tg (45° ). Для этого найдём такое значение в таблице синусов и после этого нам остаётся просто сосчитать получившееся выражение (простая арифметика):

$0+2ctg(45^{o} )=0+2*1 = 2.$

На этом всё ;)

__________
Удачи Вам! :)