Question

4. Вычислите значение производной функции f(x)= 2x-3/sin x в точке х= П 3​

Answer 1

Ответ:

По первому случаю значение производной функции f(x)= 2x-(3/sinx) в точке х = π/3 равно 4

По второму случаю значение производной функции f(x)= (2x-3)/sinx в точке х = π/3 равно (12√3-4π+18)/9

Объяснение:

Используем формулы:

С' = 0

х' = 1

(u/v)' = (u'·v - u·v')/v²

(sinx)' = cosx

1 случай

$\displaystyle f(x) = 2x - \frac{3}{ \sin x}$

$\displaystyle f'(x) = 2 \cdot(x)' - \bigg( \frac{3}{ \sin x} \bigg )' = 2 - \frac{3' \cdot \sin x - 3 \cdot( \sin x)'}{ \sin {}^{2}x } = \\ \\ = 2 - \bigg( - \frac{3 \cos x}{ \sin {}^{2} x} \bigg) = 2 + \frac{3 \cos x}{ \sin {}^{2} x}$

Находим значение производной в точке х = π/3 :

$\displaystyle f ' \bigg( \frac{\pi}{3} \bigg) = 2 + \frac{3 \cos \frac{\pi}{3} }{ \sin {}^{2} \frac{\pi}{3} } = 2 + \frac{3 \cdot \frac{1}{2} }{( \frac{ \sqrt{3} }{2}) {}^{2} } = \\ \\ = 2 + \frac{1.5}{0.75} = 2 + 2 = 4$

2 случай

$\displaystyle f(x) = \frac{2x - 3}{ \sin x}$

Находим производную:

$\displaystyle f'(x) = \bigg( \frac{2x - 3}{ \sin x} \bigg)' = \frac{(2x - 3)' \sin x - (2x - 3) \cdot( \sin x)'}{ \sin {}^{2} x} = \\ \\ = \frac{2 \sin x - \cos x(2x - 3)}{ \sin {}^{2}x }$

Находим значение производной в точке х = π/3 :

$\displaystyle f' \bigg( \frac{\pi}{3} \bigg) = \frac{2 \cdot \sin \frac{\pi}{3} - \cos \frac{\pi}{3}(2 \cdot \frac{\pi}{3} - 3) }{ \sin {}^{2} \frac{\pi}{3} } = \\ \\ = \frac{ \not 2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ \not2} - \frac{1}{2}( \frac{2\pi}{3} - 3) }{( \frac{ \sqrt{3} }{2}) {}^{2} } = \frac{ \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{3}{2} }{ \frac{3}{4} } = \\ \\ = \frac{6\sqrt{3} -2\pi +9}{6} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2(6\sqrt{3} -2\pi +9)}{9} = \frac{12\sqrt{3} -4\pi+18}{9}$

#SPJ1