Question

Докажите трждество подробно:
cos4a-sin4a*ctg2a=-1

a- альфа
Расписать подробно на листке

Answer 1

Ответ:

Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся формулами тригонометрии, а именно:

cos2a = 1 - sin2a

ctg2a = cos2a/sin2a

sin2a = 2sinacosа

cos2a = 1 - 2sin2a

Теперь, приступим к доказательству:

cos4a - sin4a * ctg2a = cos2(2a) - sin2(2a) * cos2a/sin2a = (cos2(2a)*sin2a - sin2(2a)*cos2a)/sin2a

Применим формулу произведения синусов:

sin2(2a) = 2sin(2a)*cos(2a)

Тогда:

cos4a - sin4a * ctg2a = (cos2(2a)*sin2a - 2sin(2a)*cos(2a)*cos2a)/sin2a = cos2a * (sin2(2a) - 2sin(2a))/sin2a = cos2a * (-sin2(2a))/sin2a = -cos2a * sin2(2a)/sin2a = -cos2a * 2sin(2a)*cos(2a)/2sin(a)*cos(a) = -cos(2a) * sin(2a)/sin(a)*cos(a)

Применим формулу произведения косинуса и синуса:

cos(2a)*sin(2a) = (sin(4a))/2

Тогда:

cos4a - sin4a * ctg2a = -sin(4a)/(2sin(a)cos(a)) = -2sin2acos2a/(2sin(a)*cos(a)) = -sin2a/cos(a) = -ctg(a) = -1

Таким образом, мы доказали исходное тождество:

cos4a - sin4a * ctg2a = -1

Объяснение:

Answer 2

$\displaystyle\bf\\Cos4\alpha -Sin4\alpha\cdot Ctg2\alpha =Cos4\alpha -2Sin2\alpha Cos2\alpha \cdot\frac{Cos2\alpha }{Sin2\alpha } =\\\\\\=Cos4\alpha -2Cos^{2}2\alpha =Cos4\alpha -(1+Cos4\alpha )=\\\\\\=Cos4\alpha -1+Cos4\alpha =-1\\\\-1=-1$

Тождество доказано

При решении были применены формулы :

$\displaystyle\bf\\Ctg\alpha =\frac{Cos\alpha }{Sin\alpha }\\\\\\Sin2\alpha =2Sin\alpha Cos\alpha \\\\\\2Cos^{2} \alpha =1+Cos2\alpha$