Ответы
Ответ:
267.541
Объяснение:
Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме x = f(t), y = g(t), следует использовать формулу:
S = ∫[a,b] y dx = ∫[α,β] g(t) f'(t) dt,
где f'(t) - производная функции f(t) по t.
В данном случае имеем:
x = 7cos^5(t), y = 7sin^5(t),
тогда производная функции x(t) равна
x'(t) = -35cos^4(t)sin(t),
а площадь фигуры будет равна:
S = ∫[0,2π] 7sin^5(t) (-35cos^4(t)sin(t)) dt
S = -245∫[0,2π] sin^6(t)cos^4(t) dt
Для решения данного интеграла, воспользуемся формулой
∫ sin^m(t)cos^n(t) dt = (sin^(m+1)(t)cos^(n-1)(t))/(m+1) + [(n-1)/(m+1)]∫sin^m(t)cos^(n-2)(t) dt,
где m и n - целые неотрицательные числа.
Применяя данную формулу несколько раз, получаем:
S = -245∫[0,2π] sin^6(t)cos^4(t) dt
S = -245[(sin^7(t)cos^3(t))/21 - (3sin^5(t)cos^3(t))/5 + (3sin^3(t)cos^3(t))/4 - (sin(t)cos^3(t))/4] from 0 to 2π
S = 245/4 * π * (7/16)
S = 267.541
Ответ: площадь фигуры, ограниченной линией x = 7cos^5(t), y = 7sin^5(t), равна приблизительно 267.541.