Могут ли координаты одной и той же точки быть корнем нескольких уравнений? Как расположены в этом случае линии, заданные этими уравнениями? a)Проходят ли линии, заданные уравнениями 3x-y = -5; -x + 10y = 21; 11x+ 21y= 31 через точкуA(-1; 2)? Почему? b) Существует ли точка, принадлежащая всем трём линиям, задаваемым уравнениями 0,2x + 3y = 4,5; -x + 4y = 6; 5x - 2y = -3 Если существует, то найдите её координаты.
Ответы
Да, координаты одной и той же точки могут быть корнем нескольких уравнений. Это означает, что эти уравнения проходят через эту точку.
a) Для проверки, проходят ли линии через точку A(-1;2), мы должны подставить координаты этой точки в каждое уравнение и проверить, будет ли равенство верным. Для уравнения 3x-y=-5: 3(-1)-(2)=-5, равенство верно. Для уравнения -x+10y=21: -(-1)+10(2)=21, равенство верно. Для уравнения 11x+21y=31: 11(-1)+21(2)=31, равенство верно. Таким образом, все три линии проходят через точку A(-1;2).
b) Чтобы найти точку, принадлежащую всем трём линиям, мы должны решить систему из трёх уравнений:
0,2x + 3y = 4,5
-x + 4y = 6
5x - 2y = -3
Можно решить эту систему, используя метод замещения или метод сложения. Например, используя метод сложения, мы можем сложить первое уравнение умноженное на 2 и третье уравнение умноженное на -1:
0,4x + 6y = 9
-5x + 2y = 3
Теперь мы можем сложить это уравнение с уравнением -x + 4y = 6, чтобы избавиться от y:
-4,6x = -9
x = 1,9565...
Теперь мы можем использовать любое из первых двух уравнений, чтобы найти y:
0,2(1,9565) + 3y = 4,5
y = 1,0138...
Таким образом, точка, принадлежащая всем трём линиям, имеет координаты (1,9565;1,0138).