Ответы
Ответ:
Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими тождествами.
Начнем с левой части:
(1 + tg²a) * sin⁴a + cos²a
= sin⁴a/cos²a + cos²a (по определению tg)
= sin⁴a/cos²a + cos⁴a/cos²a (приводим к общему знаменателю)
= (sin⁴a + cos⁴a) / cos²a (складываем дроби)
= (sin²a)² + (cos²a)² / cos²a (по формуле (sin²a + cos²a)² = sin⁴a + cos⁴a + 2sin²a cos²a)
= (sin²a/cos²a)² + 1 (приводим к общему знаменателю)
= tg²a + 1 (по определению tg)
= 1/cos²a (по тригонометрическому тождеству tg²a + 1 = 1/cos²a)
= 1 (по тригонометрическому тождеству 1/cos²a = 1 + tg²a)
Таким образом, левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.
Давайте рассмотрим правую часть равенства: 1.
Мы знаем, что sin²a + cos²a = 1 - это тригонометрическое тождество.
Теперь преобразуем левую часть: (1 + tg²a) * sin⁴a + cos²a.
Раскроем скобки: sin⁴a + tg²a * sin⁴a + cos²a.
Вынесем общий множитель sin⁴a: sin⁴a * (1 + tg²a) + cos²a.
Подставим вместо tg²a выражение sin²a / cos²a (используя определение тангенса): sin⁴a * (1 + sin²a / cos²a) + cos²a.
Приведём подобные слагаемые: sin⁴a * (cos²a + sin²a) / cos²a + cos²a.
Сократим дробь: sin⁴a * 1 / cos²a + cos²a.
Выразим sin²a через cos²a (используя тригонометрическое тождество): sin²a = 1 - cos²a.
Подставим это выражение: sin⁴a * 1 / cos²a + cos²a = (1 - cos²a)² / cos²a + cos²a.
Раскроем квадрат: (1 - 2cos²a + cos⁴a) / cos²a + cos²a.
Сократим дроби: 1 - 2cos²a + cos⁴a + cos²a * cos²a.
Сгруппируем члены с cos²a: 1 + cos⁴a - cos²a + cos²a.
Получаем: 1 + cos⁴a = 1 + cos⁴a, что и требовалось доказать.