Question

Радиус определяющий угол а, проходит через точку единичной окружности B(-√3/2;1/2).
Запишите чему равны: sina,cosa, tga.
​​

Answer 1

Ответ:

Мы знаем, что точка B (-√3/2, 1/2) лежит на единичной окружности, что означает, что это точка на окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом 1.

Чтобы найти точку A, мы можем использовать тот факт, что радиус, определяющий угол a, проходит через начало координат и составляет угол a с положительной осью x.

Поскольку точка B лежит во втором квадранте, мы знаем, что угол между положительной осью x и линией, соединяющей начало координат и точку B, составляет 120 градусов или π/3 радиана.

Таким образом, угол между положительной осью x и линией, соединяющей начало координат и точку A, должен быть a + π/3, поскольку радиус, определяющий угол a, составляет угол a с положительной осью x.

Чтобы найти координаты точки A, мы можем использовать тот факт, что она лежит на единичной окружности, что означает, что ее расстояние от начала координат равно 1.

Используя тригонометрию, мы можем выразить координаты x и y точки A в терминах sin(a+π/3) и cos(a+π/3) соответственно:

x-координата A: cos(a+π/3) = cos(a)cos(π/3) - sin(a)sin(π/3) = (1/2)cos(a) - (√3/2)sin(a)

y-координата A: sin(a+π/3) = sin(a)cos(π/3) + cos(a)sin(π/3) = (1/2)sin(a) + (√3/2)cos(a)

Поскольку точка А лежит на единичной окружности, мы знаем, что:

(x-координата A) ^2 + (y-координата A)^2 = 1

Подставляя найденные нами выражения для x-координаты и y-координаты A, мы получаем:

[(1/2)cos(a) - (√3/2)sin(a)]^2 + [(1/2)sin(a) + (√3/2)cos(a)]^2 = 1

Расширяя это выражение и упрощая, мы получаем:

cos^2(a) + sin^2(a) = 1

Это пифагорейское тождество для синуса и косинуса, которое справедливо для всех углов a.

Таким образом, мы знаем, что sina = sin(a+π/2) = cos(a-π/2) = y-координата A = (1/2)sin(a) + (√3/2)cos(a)

И мы также знаем, что cosa = cos(a+π/2) = -sin(a) = x-координата A = (1/2)cos(a) - (√3/2)sin(a)

Наконец, мы можем найти значение tga (тангенс угла a), разделив sina на cosa:

tga = sina/cosa = [(1/2)sin(a) + (√3/2)cos(a)] / [(1/2)cos(a) - (√3/2)sin(a)]

Мы можем упростить это выражение, умножив числитель и знаменатель на 2:

tga = [sin(a) + (√3/2)cos(a)] / [cos(a) - (√3/2)sin(a)]