Question

4. Докажите тождества: (1+tg²a)cos ^4a + sin²a = 1​

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Если данное выражение почленно разделить на $\cos^2x\neq 0$, то получим:

$\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x} +\dfrac{\cos^2x}{\cos^2x} =\dfrac{1}{\cos^2x}$

$\mathrm{tg}^2x+1 =\dfrac{1}{\cos^2x}$

Рассмотрим предложенное тождество. Преобразуем его левую часть к правой, воспользовавшись полученным соотношением, а также непосредственно основным тригонометрическим тождеством:

$(1+\mathrm{tg}^2\alpha )\cos^4\alpha +\sin^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha } \cdot \cos^4\alpha +\sin^2\alpha= \cos^2\alpha +\sin^2\alpha=1$

Левая часть преобразована к правой. Тождество доказано.