Question

Розв'яжіть систему рівнянь $\left \{ {{x^{2} +9y^{2} =13} \atop {xy=2}} \right.$

Answer 1

Ответ:

Можна використати метод заміни змінних, щоб виключити одну змінну з системи рівнянь. Замінимо змінну x на вираз, отриманий з другого рівняння:

xy = 2 -> x = 2/y

Підставимо цей вираз в перше рівняння:

(2/y)^2 + 9y^2 = 13

4/y^2 + 9y^2 = 13

Перенесемо всі доданки на одну сторону:

9y^4 - 13y^2 + 4 = 0

Розкладемо це рівняння на добуток двох квадратів:

(3y^2 - 4)(3y^2 - 1) = 0

Отримали два квадратних рівняння:

3y^2 - 4 = 0 -> y^2 = 4/3 -> y = ±√(4/3)

або

3y^2 - 1 = 0 -> y^2 = 1/3 -> y = ±√(1/3)

Підставимо знайдені значення y у вираз, який ми отримали з другого рівняння:

x = 2/y

Для значення y = √(4/3) маємо x = 2/√(4/3) = √(3)

Для значення y = -√(4/3) маємо x = -2/√(4/3) = -√(3)

Для значення y = √(1/3) маємо x = 2/√(1/3) = 2√(3)

Для значення y = -√(1/3) маємо x = -2/√(1/3) = -2√(3)

Отже, розв'язком системи є наступні значення (x, y): (√(3), √(4/3)), (-√(3), -√(4/3)), (2√(3), √(1/3)), (-2√(3), -√(1/3)).