Question

Обчисліть значення похідної функції y = In cos x² у точці x0 = 1
Бажано з поясненням, буду дуже вдячна)

Answer 1

Основные формулы диффренцирования:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

$(\cos x)'=-\sin x$

$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$

Производная сложной функции:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Рассмотрим функцию:

$y = \ln \cos x^2$

Находим производную:

$y' =( \ln \cos x^2)'=\dfrac{1}{\cos x^2} \cdot(\cos x^2)'=\dfrac{1}{\cos x^2} \cdot(-\sin x^2)\cdot(x^2)'=$

$=-\dfrac{\sin x^2}{\cos x^2} \cdot2x=-\mathrm{tg}{\,}x^2\cdot2x=-2x{\,}\mathrm{tg}{\,}x^2$

Находим значение производной в заданной точке:

$y' (x_0)=y' (1)=-2\cdot1\cdot\mathrm{tg}{\,}1^2=-2\cdot\mathrm{tg}{\,}1=-2{\,}\mathrm{tg}{\,}1$

Ответ: -2tg1