Question

Многочлен - x4 + kx3 + x -6 делится на двучлен х - 1 без остатка. Используя теорему Безу, найдите остаток при делении данного многочлена на двучлен x - 2

Answer 1

Ответ:

1)  Если многочлен  $\bf P(x)=-x^4+kx^3+x-6$   делится на двучлен  $\bf x-1$  

без остатка , то  $\bf x=1$  - корень многочлена  и  $\bf P(1)=0$  .

$\bf P(1)=-1^4+k\cdot 1^3+1-6=0\ \ ,\ \ k-6=0\ \ ,\ \ k=6$  

Остаток от деления многочлена  $\bf P(x)=-x^4+6x^3+x-6$  на двучлен

$\bf x-2$  по теореме Безу равен  $\bf P(2)$  .

$\bf P(2)=-2^4+6\cdot 2^3+2-6=-16+48+2-6=28$  

Ответ:  k=6 , остаток = 28 .

2)  Многочлен  $\bf h(x)=x^3+kx^2+x+21$  делим уголком на  $\bf x+3$  .

$\bf {}\ \ \ \ x^3+kx^2+x+21\ \ \ \ \ |\ x+3\\-(x^3+3x^2)\qquad \qquad \quad \ --------------\\{}------\qquad \qquad \qquad x^2+(k-3)x+(-3k+10)\\{}\qquad (k-3)x^2+x+21\\{}\ \ -((k-3)x^2+(3k-9)x)\\{}\ \ \ \ ------------\\{}\qquad \qquad \quad (-3k+10)x+21\\{}\qquad \ \ \, \quad -((-3k+10)x+(-9k+30)\\{}\qquad \qquad --------------\\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 9k-9$    

$\bf x^3+kx^2+x+21=(x+3)(x^2+(k-3)x-3k+10)+(9k-9)\\\\9k-9=0\ \ \Rightarrow \ \ \ k=1\\\\\\x^3+x^2+x+21=(x+3)(x^2-2x+7)$

Найдём корни квадратного трёхчлена .

$\bf x^2-2x+7=0\ \ ,\ \ \ D/4=(b/2)^2-ac=1-7=-6 < 0$

Действительных корней нет .

Есть два комплексно-соаряжённых корня  $\bf x_1=1-i\sqrt6\ ,\ x_2=1+i\sqrt6$  

Ответ:  $\bf x_1=-3\ ,\ x_2=1-i\sqrt6\ ,\ x_3=1+i\sqrt6$  .