Question

Доведіть тотожність sin(a+B) - sin(a-3) cos(a+B) + cos(a-B) =tgB.​

Answer 1

Ответ:

Для доведення цієї тотожності ми скористаємося наступними тригонометричними формулами:

sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)tan(x) = sin(x) / cos(x)

Застосуємо першу формулу до sin(a+B):

sin(a+B) = sin(a)cos(B) + cos(a)sin(B)

Застосуємо другу формулу до cos(a-B):

cos(a-B) = cos(a)cos(B) + sin(a)sin(B)

Тепер, застосовуючи ці результати, ми можемо записати:

sin(a+B) - sin(a-3)cos(a+B) + cos(a-B) =

(sin(a)cos(B) + cos(a)sin(B)) - sin(a-3)cos(a+B) + (cos(a)cos(B) + sin(a)sin(B))

= cos(a)cos(B) + sin(a)sin(B) - sin(a-3)cos(a+B) + cos(a)cos(B) + sin(a)sin(B)

= 2cos(a)cos(B) - sin(a-3)cos(a+B)

Тепер ми можемо використати третю формулу, щоб виразити tg(B) через sin(B) і cos(B):

tg(B) = sin(B) / cos(B)

Отже, щоб довести тотожність, ми повинні показати, що:

2cos(a)cos(B) - sin(a-3)cos(a+B) = sin(B) / cos(B)

Ми можемо перетворити праву частину виразу, використовуючи третю формулу, тобто:

sin(B) / cos(B) = tg(B)

Тепер, підставляючи tg(B) в останнє рівняння, ми отримуємо:

2cos(a)cos(B) - sin(a-3)cos(a+B) = tg(B)

Отже, ми довели задану тотожність.

Answer 2

Ответ:

Доказано требуемое.

Объяснение:

          $\dfrac{\sin(a+b)-\sin(a-b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}=\dfrac{2\sin\frac{(a+b)-(a-b)}{2}\cdot\cos\frac{(a+b)+(a-b)}{2}}{2\cos\frac{(a+b)-(a-b)}{2}\cdot \cos\frac{(a+b)+(a-b)}{2}}=$

                                    $=\dfrac{\sin b\cdot\cos a}{\cos b\cdot \cos a}=\dfrac{\sin b}{\cos b}={\rm tg}\ b.$

Мы воспользовались формулами

                                 $\sin x-\sin y=2\sin\dfrac{x-y}{2}\cdot \cos\dfrac{x+y}{2};$

                                 $\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x-y}{2}\cdot \cos\dfrac{x+y}{2}.$